Theorem sumeq1i 14627

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 14618	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1632  Σcsu 14615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-xp 5272  df-cnv 5274  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-iota 6012  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-seq 12996  df-sum 14616

This theorem is referenced by:  sumeq12i  14629  fsump1i  14699  fsum2d  14701  fsumxp  14702  isumnn0nn  14773  arisum  14791  arisum2  14792  geo2sum  14803  bpoly0  14980  bpoly1  14981  bpoly2  14987  bpoly3  14988  bpoly4  14989  efsep  15039  ef4p  15042  rpnnen2lem12  15153  ovolicc2lem4  23488  itg10  23654  dveflem  23941  dvply1  24238  vieta1lem2  24265  aaliou3lem4  24300  dvtaylp  24323  pserdvlem2  24381  advlogexp  24600  log2ublem2  24873  log2ublem3  24874  log2ub  24875  ftalem5  25002  cht1  25090  1sgmprm  25123  lgsquadlem2  25305  axlowdimlem16  26036  finsumvtxdg2ssteplem4  26654  rusgrnumwwlks  27096  signsvf0  30966  signsvf1  30967  repr0  30998  k0004val0  38954  binomcxplemnotnn0  39057  fsumiunss  40310  dvnmul  40661  stoweidlem17  40737  dirkertrigeqlem1  40818  etransclem24  40978  etransclem35  40989