MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum2dchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sum2dchr 25219
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of 𝑥(𝐴) for fixed 𝐴 and all 𝑥 is 0 if 𝐴 = 1 and ϕ(𝑛) otherwise. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sum2dchr.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
sum2dchr.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
sum2dchr.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
sum2dchr.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
sum2dchr.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
sum2dchr.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
sum2dchr.a (𝜑𝐴𝐵)
sum2dchr.c (𝜑𝐶𝑈)
Assertion
Ref Expression
sum2dchr (𝜑 → Σ𝑥𝐷 ((𝑥𝐴) · (∗‘(𝑥𝐶))) = if(𝐴 = 𝐶, (ϕ‘𝑁), 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem sum2dchr
StepHypRef Expression
1 sum2dchr.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 sum2dchr.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
3 sum2dchr.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 eqid 2760 . . 3 (1r𝑍) = (1r𝑍)
5 sum2dchr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑍)
6 sum2dchr.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
76nnnn0d 11563 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
83zncrng 20115 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
9 crngring 18778 . . . . 5 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
107, 8, 93syl 18 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
11 sum2dchr.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
12 sum2dchr.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑈)
13 sum2dchr.u . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑍)
14 eqid 2760 . . . . 5 (/r𝑍) = (/r𝑍)
155, 13, 14dvrcl 18906 . . . 4 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵𝐶𝑈) → (𝐴(/r𝑍)𝐶) ∈ 𝐵)
1610, 11, 12, 15syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝐴(/r𝑍)𝐶) ∈ 𝐵)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 16sumdchr 25217 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 (𝑥‘(𝐴(/r𝑍)𝐶)) = if((𝐴(/r𝑍)𝐶) = (1r𝑍), (ϕ‘𝑁), 0))
18 eqid 2760 . . . . . . . 8 (.r𝑍) = (.r𝑍)
19 eqid 2760 . . . . . . . 8 (invr𝑍) = (invr𝑍)
205, 18, 13, 19, 14dvrval 18905 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐶𝑈) → (𝐴(/r𝑍)𝐶) = (𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐶)))
2111, 12, 20syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(/r𝑍)𝐶) = (𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐶)))
2221adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐴(/r𝑍)𝐶) = (𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐶)))
2322fveq2d 6357 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥‘(𝐴(/r𝑍)𝐶)) = (𝑥‘(𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐶))))
241, 3, 2dchrmhm 25186 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
25 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
2624, 25sseldi 3742 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
2711adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴𝐵)
285, 13unitss 18880 . . . . . 6 𝑈𝐵
2913, 19unitinvcl 18894 . . . . . . . 8 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑈) → ((invr𝑍)‘𝐶) ∈ 𝑈)
3010, 12, 29syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → ((invr𝑍)‘𝐶) ∈ 𝑈)
3130adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((invr𝑍)‘𝐶) ∈ 𝑈)
3228, 31sseldi 3742 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → ((invr𝑍)‘𝐶) ∈ 𝐵)
33 eqid 2760 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
3433, 5mgpbas 18715 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑍))
3533, 18mgpplusg 18713 . . . . . 6 (.r𝑍) = (+g‘(mulGrp‘𝑍))
36 eqid 2760 . . . . . . 7 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
37 cnfldmul 19974 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
3836, 37mgpplusg 18713 . . . . . 6 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3934, 35, 38mhmlin 17563 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐴𝐵 ∧ ((invr𝑍)‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑥‘(𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐶))) = ((𝑥𝐴) · (𝑥‘((invr𝑍)‘𝐶))))
4026, 27, 32, 39syl3anc 1477 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥‘(𝐴(.r𝑍)((invr𝑍)‘𝐶))) = ((𝑥𝐴) · (𝑥‘((invr𝑍)‘𝐶))))
41 eqid 2760 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈)
42 eqid 2760 . . . . . . . 8 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
431, 3, 2, 13, 41, 42, 25dchrghm 25201 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
4412adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐶𝑈)
4513, 41unitgrpbas 18886 . . . . . . . 8 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
4613, 41, 19invrfval 18893 . . . . . . . 8 (invr𝑍) = (invg‘((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈))
47 cnfldbas 19972 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘ℂfld)
48 cnfld0 19992 . . . . . . . . . 10 0 = (0g‘ℂfld)
49 cndrng 19997 . . . . . . . . . 10 fld ∈ DivRing
5047, 48, 49drngui 18975 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
51 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
5250, 42, 51invrfval 18893 . . . . . . . 8 (invr‘ℂfld) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
5345, 46, 52ghminv 17888 . . . . . . 7 (((𝑥𝑈) ∈ (((mulGrp‘𝑍) ↾s 𝑈) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝐶𝑈) → ((𝑥𝑈)‘((invr𝑍)‘𝐶)) = ((invr‘ℂfld)‘((𝑥𝑈)‘𝐶)))
5443, 44, 53syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑥𝑈)‘((invr𝑍)‘𝐶)) = ((invr‘ℂfld)‘((𝑥𝑈)‘𝐶)))
55 fvres 6369 . . . . . . 7 (((invr𝑍)‘𝐶) ∈ 𝑈 → ((𝑥𝑈)‘((invr𝑍)‘𝐶)) = (𝑥‘((invr𝑍)‘𝐶)))
5631, 55syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑥𝑈)‘((invr𝑍)‘𝐶)) = (𝑥‘((invr𝑍)‘𝐶)))
57 fvres 6369 . . . . . . . . 9 (𝐶𝑈 → ((𝑥𝑈)‘𝐶) = (𝑥𝐶))
5844, 57syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑥𝑈)‘𝐶) = (𝑥𝐶))
5958fveq2d 6357 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → ((invr‘ℂfld)‘((𝑥𝑈)‘𝐶)) = ((invr‘ℂfld)‘(𝑥𝐶)))
601, 3, 2, 5, 25dchrf 25187 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥:𝐵⟶ℂ)
6128, 44sseldi 3742 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐶𝐵)
6260, 61ffvelrnd 6524 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥𝐶) ∈ ℂ)
631, 3, 2, 5, 13, 25, 61dchrn0 25195 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑥𝐶) ≠ 0 ↔ 𝐶𝑈))
6444, 63mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥𝐶) ≠ 0)
65 cnfldinv 19999 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐶) ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑥𝐶)) = (1 / (𝑥𝐶)))
6662, 64, 65syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑥𝐶)) = (1 / (𝑥𝐶)))
67 recval 14281 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐶) ≠ 0) → (1 / (𝑥𝐶)) = ((∗‘(𝑥𝐶)) / ((abs‘(𝑥𝐶))↑2)))
6862, 64, 67syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → (1 / (𝑥𝐶)) = ((∗‘(𝑥𝐶)) / ((abs‘(𝑥𝐶))↑2)))
691, 2, 25, 3, 13, 44dchrabs 25205 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐷) → (abs‘(𝑥𝐶)) = 1)
7069oveq1d 6829 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐷) → ((abs‘(𝑥𝐶))↑2) = (1↑2))
71 sq1 13172 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
7270, 71syl6eq 2810 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → ((abs‘(𝑥𝐶))↑2) = 1)
7372oveq2d 6830 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → ((∗‘(𝑥𝐶)) / ((abs‘(𝑥𝐶))↑2)) = ((∗‘(𝑥𝐶)) / 1))
7462cjcld 14155 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → (∗‘(𝑥𝐶)) ∈ ℂ)
7574div1d 11005 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → ((∗‘(𝑥𝐶)) / 1) = (∗‘(𝑥𝐶)))
7668, 73, 753eqtrd 2798 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (1 / (𝑥𝐶)) = (∗‘(𝑥𝐶)))
7759, 66, 763eqtrd 2798 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((invr‘ℂfld)‘((𝑥𝑈)‘𝐶)) = (∗‘(𝑥𝐶)))
7854, 56, 773eqtr3d 2802 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥‘((invr𝑍)‘𝐶)) = (∗‘(𝑥𝐶)))
7978oveq2d 6830 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑥𝐴) · (𝑥‘((invr𝑍)‘𝐶))) = ((𝑥𝐴) · (∗‘(𝑥𝐶))))
8023, 40, 793eqtrd 2798 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥‘(𝐴(/r𝑍)𝐶)) = ((𝑥𝐴) · (∗‘(𝑥𝐶))))
8180sumeq2dv 14652 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 (𝑥‘(𝐴(/r𝑍)𝐶)) = Σ𝑥𝐷 ((𝑥𝐴) · (∗‘(𝑥𝐶))))
825, 13, 14, 4dvreq1 18913 . . . 4 ((𝑍 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵𝐶𝑈) → ((𝐴(/r𝑍)𝐶) = (1r𝑍) ↔ 𝐴 = 𝐶))
8310, 11, 12, 82syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(/r𝑍)𝐶) = (1r𝑍) ↔ 𝐴 = 𝐶))
8483ifbid 4252 . 2 (𝜑 → if((𝐴(/r𝑍)𝐶) = (1r𝑍), (ϕ‘𝑁), 0) = if(𝐴 = 𝐶, (ϕ‘𝑁), 0))
8517, 81, 843eqtr3d 2802 1 (𝜑 → Σ𝑥𝐷 ((𝑥𝐴) · (∗‘(𝑥𝐶))) = if(𝐴 = 𝐶, (ϕ‘𝑁), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cdif 3712  ifcif 4230  {csn 4321  cres 5268  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   · cmul 10153   / cdiv 10896  cn 11232  2c2 11282  0cn0 11504  cexp 13074  ccj 14055  abscabs 14193  Σcsu 14635  ϕcphi 15691  Basecbs 16079  s cress 16080  .rcmulr 16164   MndHom cmhm 17554   GrpHom cghm 17878  mulGrpcmgp 18709  1rcur 18721  Ringcrg 18767  CRingccrg 18768  Unitcui 18859  invrcinvr 18891  /rcdvr 18902  fldccnfld 19968  ℤ/nczn 20073  DChrcdchr 25177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-rpss 7103  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-ec 7915  df-qs 7919  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-word 13505  df-concat 13507  df-s1 13508  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-dvds 15203  df-gcd 15439  df-prm 15608  df-phi 15693  df-pc 15764  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-qus 16391  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-nsg 17813  df-eqg 17814  df-ghm 17879  df-gim 17922  df-ga 17943  df-cntz 17970  df-oppg 17996  df-od 18168  df-gex 18169  df-pgp 18170  df-lsm 18271  df-pj1 18272  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-cyg 18500  df-dprd 18614  df-dpj 18615  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-rnghom 18937  df-drng 18971  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-lidl 19396  df-rsp 19397  df-2idl 19454  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-zring 20041  df-zrh 20074  df-zn 20077  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-0p 23656  df-limc 23849  df-dv 23850  df-ply 24163  df-idp 24164  df-coe 24165  df-dgr 24166  df-quot 24265  df-log 24523  df-cxp 24524  df-dchr 25178
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  25421
  Copyright terms: Public domain W3C validator