Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sum0 14651
 Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sum0 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Proof of Theorem sum0
StepHypRef Expression
1 nnuz 11916 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1z 11599 . . . . 5 1 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
4 0ss 4115 . . . . 5 ∅ ⊆ ℕ
54a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ⊆ ℕ)
6 simpr 479 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
76, 1syl6eleq 2849 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
8 c0ex 10226 . . . . . . 7 0 ∈ V
98fvconst2 6633 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → (((ℤ‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
107, 9syl 17 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
11 noel 4062 . . . . . 6 ¬ 𝑘 ∈ ∅
1211iffalsei 4240 . . . . 5 if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0) = 0
1310, 12syl6eqr 2812 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ‘1) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0))
1411pm2.21i 116 . . . . 5 (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℂ)
1514adantl 473 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℂ)
161, 3, 5, 13, 15zsum 14648 . . 3 (⊤ → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0}))))
1716trud 1642 . 2 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})))
18 fclim 14483 . . . 4 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
19 ffun 6209 . . . 4 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
2018, 19ax-mp 5 . . 3 Fun ⇝
21 serclim0 14507 . . . 4 (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0)
222, 21ax-mp 5 . . 3 seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0
23 funbrfv 6395 . . 3 (Fun ⇝ → (seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0}))) = 0))
2420, 22, 23mp2 9 . 2 ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0}))) = 0
2517, 24eqtri 2782 1 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1632  ⊤wtru 1633   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ifcif 4230  {csn 4321   class class class wbr 4804   × cxp 5264  dom cdm 5266  Fun wfun 6043  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  ℂcc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  ℕcn 11212  ℤcz 11569  ℤ≥cuz 11879  seqcseq 12995   ⇝ cli 14414  Σcsu 14615 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616 This theorem is referenced by:  sumz  14652  fsumf1o  14653  fsumcllem  14662  fsumadd  14669  fsum2d  14701  fsumrev2  14713  fsummulc2  14715  fsumconst  14721  modfsummod  14725  fsumabs  14732  telfsumo  14733  fsumparts  14737  fsumrelem  14738  fsumrlim  14742  fsumo1  14743  fsumiun  14752  isumsplit  14771  arisum  14791  arisum2  14792  bpoly0  14980  sumeven  15312  sumodd  15313  bitsinv1  15366  bitsinvp1  15373  prmreclem4  15825  prmreclem5  15826  gsumfsum  20015  fsumcn  22874  ovolfiniun  23469  volfiniun  23515  itg10  23654  itgfsum  23792  dvmptfsum  23937  abelthlem6  24389  logfac  24546  log2ublem3  24874  harmonicbnd3  24933  cht1  25090  dchrisumlem1  25377  dchrisumlem3  25379  logdivbnd  25444  pntrsumbnd2  25455  pntrlog2bndlem4  25468  finsumvtxdg2size  26656  esumpcvgval  30449  signsvf0  30966  signsvf1  30967  repr0  30998  breprexplemc  31019  tgoldbachgtda  31048  mettrifi  33866  rrncmslem  33944  mccl  40333  dvmptfprod  40663  dvnprodlem3  40666  sge0rnn0  41088  sge00  41096  sge0sn  41099  pwdif  42011
 Copyright terms: Public domain W3C validator