Theorem sucexb 7126

Description: A successor exists iff its class argument exists. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sucexb	⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem sucexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexb 7075	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
2		snex 5013	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
3	2	biantru 527	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V))
4		df-suc 5842	. . 3 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
5	4	eleq1i 2794	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
6	1, 3, 5	3bitr4i 292	1 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2103  Vcvv 3304   ∪ cun 3678  {csn 4285  suc csuc 5838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pr 5011  ax-un 7066

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-rex 3020  df-v 3306  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-sn 4286  df-pr 4288  df-uni 4545  df-suc 5842

This theorem is referenced by:  sucexg  7127  sucelon  7134  ordsucelsuc  7139  oeordi  7787  suc11reg  8629  rankxpsuc  8858  isf32lem2  9289  limsucncmpi  32671