MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subumgredg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subumgredg2 26222
Description: An edge of a subgraph of a multigraph connects exactly two different vertices. (Contributed by AV, 26-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
subumgredg2.v 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
subumgredg2.i 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
subumgredg2 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2})
Distinct variable groups:   𝑒,𝐼   𝑒,𝑉   𝑒,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑒)   𝐺(𝑒)

Proof of Theorem subumgredg2
StepHypRef Expression
1 subumgredg2.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝑆)
2 subumgredg2.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝑆)
3 umgruhgr 26044 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
433ad2ant2 1103 . . . 4 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐺 ∈ UHGraph)
5 simp1 1081 . . . 4 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑆 SubGraph 𝐺)
6 simp3 1083 . . . 4 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ dom 𝐼)
71, 2, 4, 5, 6subgruhgredgd 26221 . . 3 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
8 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
98uhgrfun 26006 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
103, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UMGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
11103ad2ant2 1103 . . . . . 6 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → Fun (iEdg‘𝐺))
12 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝑆)
13 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
14 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Edg‘𝑆) = (Edg‘𝑆)
1512, 13, 2, 8, 14subgrprop2 26211 . . . . . . . 8 (𝑆 SubGraph 𝐺 → ((Vtx‘𝑆) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ (Edg‘𝑆) ⊆ 𝒫 (Vtx‘𝑆)))
1615simp2d 1094 . . . . . . 7 (𝑆 SubGraph 𝐺𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺))
17163ad2ant1 1102 . . . . . 6 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺))
18 funssfv 6247 . . . . . . 7 ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑋) = (𝐼𝑋))
1918eqcomd 2657 . . . . . 6 ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐼 ⊆ (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
2011, 17, 6, 19syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑋))
2120fveq2d 6233 . . . 4 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (#‘(𝐼𝑋)) = (#‘((iEdg‘𝐺)‘𝑋)))
22 simp2 1082 . . . . 5 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝐺 ∈ UMGraph)
232dmeqi 5357 . . . . . . . . 9 dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝑆)
2423eleq2i 2722 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆))
25 subgreldmiedg 26220 . . . . . . . . 9 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆)) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
2625ex 449 . . . . . . . 8 (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝑆) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)))
2724, 26syl5bi 232 . . . . . . 7 (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)))
2827a1d 25 . . . . . 6 (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))))
29283imp 1275 . . . . 5 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺))
3013, 8umgredg2 26040 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom (iEdg‘𝐺)) → (#‘((iEdg‘𝐺)‘𝑋)) = 2)
3122, 29, 30syl2anc 694 . . . 4 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (#‘((iEdg‘𝐺)‘𝑋)) = 2)
3221, 31eqtrd 2685 . . 3 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (#‘(𝐼𝑋)) = 2)
33 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑒 = (𝐼𝑋) → (#‘𝑒) = (#‘(𝐼𝑋)))
3433eqeq1d 2653 . . . 4 (𝑒 = (𝐼𝑋) → ((#‘𝑒) = 2 ↔ (#‘(𝐼𝑋)) = 2))
3534elrab 3396 . . 3 ((𝐼𝑋) ∈ {𝑒 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑒) = 2} ↔ ((𝐼𝑋) ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ (#‘(𝐼𝑋)) = 2))
367, 32, 35sylanbrc 699 . 2 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ {𝑒 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑒) = 2})
37 prprrab 13293 . 2 {𝑒 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑒) = 2} = {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2}
3836, 37syl6eleq 2740 1 ((𝑆 SubGraph 𝐺𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑒) = 2})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  cdif 3604  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  Fun wfun 5920  cfv 5926  2c2 11108  #chash 13157  Vtxcvtx 25919  iEdgciedg 25920  Edgcedg 25984  UHGraphcuhgr 25996  UMGraphcumgr 26021   SubGraph csubgr 26204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158  df-edg 25985  df-uhgr 25998  df-upgr 26022  df-umgr 26023  df-subgr 26205
This theorem is referenced by:  subumgr  26225  subusgr  26226
  Copyright terms: Public domain W3C validator