MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsubrg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsubrg2 19029
Description: The set of subrings of a subring are the smaller subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subsubrg.s 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subsubrg2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (SubRing‘𝑆) = ((SubRing‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴))

Proof of Theorem subsubrg2
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subsubrg.s . . . 4 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
21subsubrg 19028 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑎𝐴)))
3 elin 3939 . . . 4 (𝑎 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴))
4 selpw 4309 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴𝑎𝐴)
54anbi2i 732 . . . 4 ((𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑎𝐴))
63, 5bitr2i 265 . . 3 ((𝑎 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑎𝐴) ↔ 𝑎 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴))
72, 6syl6bb 276 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑎 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ 𝑎 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴)))
87eqrdv 2758 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (SubRing‘𝑆) = ((SubRing‘𝑅) ∩ 𝒫 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cin 3714  wss 3715  𝒫 cpw 4302  cfv 6049  (class class class)co 6814  s cress 16080  SubRingcsubrg 18998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-subg 17812  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-subrg 19000
This theorem is referenced by:  evlseu  19738
  Copyright terms: Public domain W3C validator