MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsub4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsub4d 10461
Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subsub4d (𝜑 → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subaddd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subsub4 10352 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1366 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972   + caddc 9977  cmin 10304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306
This theorem is referenced by:  sub1m1  11322  cnm2m1cnm3  11323  nn0n0n1ge2  11396  ubmelm1fzo  12604  hashf1  13279  ccatass  13406  isercolllem1  14439  caucvgrlem  14447  fsumparts  14582  incexclem  14612  arisum2  14637  bpolydiflem  14829  bpoly4  14834  sin01bnd  14959  cos01bnd  14960  vdwlem5  15736  vdwlem8  15739  efgredleme  18202  opnreen  22681  pjthlem1  23254  dveflem  23787  dvcvx  23828  dvfsumlem1  23834  efif1olem2  24334  tanarg  24410  dcubic1  24617  dquartlem1  24623  tanatan  24691  atans2  24703  harmonicbnd4  24782  basellem5  24856  logfaclbnd  24992  bcmono  25047  lgsquadlem1  25150  mulogsumlem  25265  mulog2sumlem1  25268  vmalogdivsum  25273  selbergr  25302  selberg3r  25303  brbtwn2  25830  colinearalglem1  25831  colinearalglem2  25832  colinearalglem4  25834  ax5seglem1  25853  clwlkclwwlklem2a4  26963  clwlkclwwlklem2a  26964  clwwlkext2edg  27020  clwwlknonex2lem1  27082  clwwlknonex2lem2  27083  pjhthlem1  28378  lt2addrd  29644  ballotlemfp1  30681  signstfveq0  30782  bcprod  31750  dnibndlem10  32602  suplesup  39868  fperdvper  40451  dvnxpaek  40475  itgsinexp  40488  stoweidlem26  40561  stoweidlem34  40569  stirlinglem5  40613  fourierdlem26  40668  fourierdlem107  40748  vonioolem1  41215  pwdif  41826  dignn0flhalflem1  42734
  Copyright terms: Public domain W3C validator