MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgss 18829
Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgss.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
subrgss (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem subrgss
StepHypRef Expression
1 subrgss.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2651 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
31, 2issubrg 18828 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐴)))
43simprbi 479 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐴))
54simpld 474 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  s cress 15905  1rcur 18547  Ringcrg 18593  SubRingcsubrg 18824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-ov 6693  df-subrg 18826
This theorem is referenced by:  subrgsubg  18834  subrg1  18838  subrgsubm  18841  subrgdvds  18842  subrguss  18843  subrginv  18844  subrgdv  18845  subrgmre  18852  issubdrg  18853  subsubrg  18854  abvres  18887  sralmod  19235  issubassa  19372  sraassa  19373  aspid  19378  issubassa2  19393  resspsrbas  19463  resspsradd  19464  resspsrmul  19465  resspsrvsca  19466  mplassa  19502  ressmplbas2  19503  subrgascl  19546  subrgasclcl  19547  mplind  19550  evlsval2  19568  evlssca  19570  evlsscasrng  19574  mpfconst  19578  mpff  19581  mpfaddcl  19582  mpfmulcl  19583  mpfind  19584  ply1assa  19617  evls1val  19733  evls1rhm  19735  evls1sca  19736  evls1scasrng  19751  pf1f  19762  cnsubrg  19854  sranlm  22535  clmsscn  22925  cphreccllem  23024  cphdivcl  23028  cphabscl  23031  cphsqrtcl2  23032  cphsqrtcl3  23033  cphipcl  23037  4cphipval2  23087  resscdrg  23200  srabn  23202  plypf1  24013  dvply2g  24085  taylply2  24167  cnsrexpcl  38052  fsumcnsrcl  38053  cnsrplycl  38054  rgspnid  38059  rngunsnply  38060  sdrgacs  38088
  Copyright terms: Public domain W3C validator