Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgpsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgpsr 19642
 Description: A subring of the base ring induces a subring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgpsr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
subrgpsr.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgpsr.u 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
subrgpsr.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
subrgpsr ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem subrgpsr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgpsr.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 simpl 474 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐼𝑉)
3 subrgrcl 19008 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
43adantl 473 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
51, 2, 4psrring 19634 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
6 subrgpsr.u . . . . 5 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
7 subrgpsr.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
87subrgring 19006 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
98adantl 473 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐻 ∈ Ring)
106, 2, 9psrring 19634 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑈 ∈ Ring)
11 subrgpsr.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑈)
1211a1i 11 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = (Base‘𝑈))
13 eqid 2761 . . . . . 6 (𝑆s 𝐵) = (𝑆s 𝐵)
14 simpr 479 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
151, 7, 6, 11, 13, 14resspsrbas 19638 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = (Base‘(𝑆s 𝐵)))
161, 7, 6, 11, 13, 14resspsradd 19639 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑈)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆s 𝐵))𝑦))
171, 7, 6, 11, 13, 14resspsrmul 19640 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑆s 𝐵))𝑦))
1812, 15, 16, 17ringpropd 18803 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑈 ∈ Ring ↔ (𝑆s 𝐵) ∈ Ring))
1910, 18mpbid 222 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
205, 19jca 555 . 2 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑆s 𝐵) ∈ Ring))
21 eqid 2761 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2213, 21ressbasss 16155 . . . 4 (Base‘(𝑆s 𝐵)) ⊆ (Base‘𝑆)
2315, 22syl6eqss 3797 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
24 eqid 2761 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2524subrg1cl 19011 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) ∈ 𝑇)
26 subrgsubg 19009 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑅))
27 eqid 2761 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2827subg0cl 17824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g𝑅) ∈ 𝑇)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g𝑅) ∈ 𝑇)
3025, 29ifcld 4276 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ 𝑇)
3130adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ 𝑇)
327subrgbas 19012 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
3332adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
3431, 33eleqtrd 2842 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻))
3534adantr 472 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻))
36 eqid 2761 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))
3735, 36fmptd 6550 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
38 eqid 2761 . . . . . . . 8 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
39 eqid 2761 . . . . . . . 8 (1r𝑆) = (1r𝑆)
401, 2, 4, 38, 27, 24, 39psr1 19635 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r𝑆) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))))
4140feq1d 6192 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((1r𝑆):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻) ↔ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻)))
4237, 41mpbird 247 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r𝑆):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
43 fvex 6364 . . . . . 6 (Base‘𝐻) ∈ V
44 ovex 6843 . . . . . . 7 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
4544rabex 4965 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
4643, 45elmap 8055 . . . . 5 ((1r𝑆) ∈ ((Base‘𝐻) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (1r𝑆):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
4742, 46sylibr 224 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r𝑆) ∈ ((Base‘𝐻) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
48 eqid 2761 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
496, 48, 38, 11, 2psrbas 19601 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = ((Base‘𝐻) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
5047, 49eleqtrrd 2843 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r𝑆) ∈ 𝐵)
5123, 50jca 555 . 2 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (1r𝑆) ∈ 𝐵))
5221, 39issubrg 19003 . 2 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑆s 𝐵) ∈ Ring) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (1r𝑆) ∈ 𝐵)))
5320, 51, 52sylanbrc 701 1 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  {crab 3055   ⊆ wss 3716  ifcif 4231  {csn 4322   ↦ cmpt 4882   × cxp 5265  ◡ccnv 5266   “ cima 5270  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815   ↑𝑚 cmap 8026  Fincfn 8124  0cc0 10149  ℕcn 11233  ℕ0cn0 11505  Basecbs 16080   ↾s cress 16081  0gc0g 16323  SubGrpcsubg 17810  1rcur 18722  Ringcrg 18768  SubRingcsubrg 18999   mPwSer cmps 19574 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-ofr 7065  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-hash 13333  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-tset 16183  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-mhm 17557  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-mulg 17763  df-subg 17813  df-ghm 17880  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-subrg 19001  df-psr 19579 This theorem is referenced by:  ressmplbas2  19678  subrgmpl  19683
 Copyright terms: Public domain W3C validator