MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgdvds 18988
Description: If an element divides another in a subring, then it also divides the other in the parent ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgdvds.1 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
subrgdvds.2 = (∥r𝑅)
subrgdvds.3 𝐸 = (∥r𝑆)
Assertion
Ref Expression
subrgdvds (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐸 )

Proof of Theorem subrgdvds
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgdvds.3 . . . 4 𝐸 = (∥r𝑆)
21reldvdsr 18836 . . 3 Rel 𝐸
32a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → Rel 𝐸)
4 subrgdvds.1 . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
54subrgbas 18983 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
6 eqid 2752 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
76subrgss 18975 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
85, 7eqsstr3d 3773 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑅))
98sseld 3735 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
10 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
114, 10ressmulr 16200 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
1211oveqd 6822 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑧(.r𝑅)𝑥) = (𝑧(.r𝑆)𝑥))
1312eqeq1d 2754 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑧(.r𝑆)𝑥) = 𝑦))
1413rexbidv 3182 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑆)𝑥) = 𝑦))
15 ssrexv 3800 . . . . . . 7 ((Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
168, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
1714, 16sylbird 250 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑆)𝑥) = 𝑦 → ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
189, 17anim12d 587 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑆)𝑥) = 𝑦) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦)))
19 eqid 2752 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
20 eqid 2752 . . . . 5 (.r𝑆) = (.r𝑆)
2119, 1, 20dvdsr 18838 . . . 4 (𝑥𝐸𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑆)(𝑧(.r𝑆)𝑥) = 𝑦))
22 subrgdvds.2 . . . . 5 = (∥r𝑅)
236, 22, 10dvdsr 18838 . . . 4 (𝑥 𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥) = 𝑦))
2418, 21, 233imtr4g 285 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑥𝐸𝑦𝑥 𝑦))
25 df-br 4797 . . 3 (𝑥𝐸𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐸)
26 df-br 4797 . . 3 (𝑥 𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ )
2724, 25, 263imtr3g 284 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐸 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ))
283, 27relssdv 5361 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐸 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wrex 3043  wss 3707  cop 4319   class class class wbr 4796  Rel wrel 5263  cfv 6041  (class class class)co 6805  Basecbs 16051  s cress 16052  .rcmulr 16136  rcdsr 18830  SubRingcsubrg 18970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-mulr 16149  df-subg 17784  df-ring 18741  df-dvdsr 18833  df-subrg 18972
This theorem is referenced by:  subrguss  18989
  Copyright terms: Public domain W3C validator