Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgasclcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgasclcl 19701
 Description: The scalars in a polynomial algebra are in the subring algebra iff the scalar value is in the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgascl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgascl.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
subrgascl.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgascl.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgascl.i (𝜑𝐼𝑊)
subrgascl.r (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgasclcl.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
subrgasclcl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
subrgasclcl.x (𝜑𝑋𝐾)
Assertion
Ref Expression
subrgasclcl (𝜑 → ((𝐴𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝑇))

Proof of Theorem subrgasclcl
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 4236 . . . . 5 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) = 𝑋)
21eleq1d 2824 . . . 4 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → (if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)))
3 eqid 2760 . . . . . 6 (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
4 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
5 eqid 2760 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
6 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
7 subrgascl.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
8 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
9 subrgasclcl.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑅)
10 subrgascl.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11 subrgascl.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑊)
12 subrgascl.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
13 subrgrcl 18987 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
15 subrgasclcl.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐾)
167, 5, 8, 9, 10, 11, 14, 15mplascl 19698 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑋) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))))
1716adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴𝑋) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))))
18 subrgascl.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
19 subrgasclcl.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑈)
20 subrgascl.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
2120subrgring 18985 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
2212, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ Ring)
233, 18, 19, 11, 22mplsubrg 19642 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
246subrgss 18983 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
2625sselda 3744 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
2717, 26eqeltrrd 2840 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
283, 4, 5, 6, 27psrelbas 19581 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
29 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)))
3029fmpt 6544 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
3128, 30sylibr 224 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻))
3211adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝐼𝑊)
335psrbag0 19696 . . . . 5 (𝐼𝑊 → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
3432, 33syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
352, 31, 34rspcdva 3455 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
3620subrgbas 18991 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
3712, 36syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 = (Base‘𝐻))
3837adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
3935, 38eleqtrrd 2842 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑋𝑇)
40 eqid 2760 . . . . . 6 (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
417, 10, 20, 18, 11, 12, 40subrgascl 19700 . . . . 5 (𝜑 → (algSc‘𝑈) = (𝐴𝑇))
4241fveq1d 6354 . . . 4 (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) = ((𝐴𝑇)‘𝑋))
43 fvres 6368 . . . 4 (𝑋𝑇 → ((𝐴𝑇)‘𝑋) = (𝐴𝑋))
4442, 43sylan9eq 2814 . . 3 ((𝜑𝑋𝑇) → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) = (𝐴𝑋))
45 eqid 2760 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
4618mplring 19654 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝐻 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ Ring)
4718mpllmod 19653 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝐻 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ LMod)
48 eqid 2760 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
4940, 45, 46, 47, 48, 19asclf 19539 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝐻 ∈ Ring) → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
5011, 22, 49syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
5150adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑇) → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
5218, 11, 22mplsca 19647 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 = (Scalar‘𝑈))
5352fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5437, 53eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5554eleq2d 2825 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝑇𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))))
5655biimpa 502 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5751, 56ffvelrnd 6523 . . 3 ((𝜑𝑋𝑇) → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) ∈ 𝐵)
5844, 57eqeltrrd 2840 . 2 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐴𝑋) ∈ 𝐵)
5939, 58impbida 913 1 (𝜑 → ((𝐴𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  {crab 3054   ⊆ wss 3715  ifcif 4230  {csn 4321   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264  ◡ccnv 5265   ↾ cres 5268   “ cima 5269  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↑𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121  0cc0 10128  ℕcn 11212  ℕ0cn0 11484  Basecbs 16059   ↾s cress 16060  Scalarcsca 16146  0gc0g 16302  Ringcrg 18747  SubRingcsubrg 18978  algSccascl 19513   mPwSer cmps 19553   mPoly cmpl 19555 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-tset 16162  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-ascl 19516  df-psr 19558  df-mpl 19560 This theorem is referenced by:  subrg1asclcl  19832
 Copyright terms: Public domain W3C validator