MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgascl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgascl 19721
Description: The scalar injection function in a subring algebra is the same up to a restriction to the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgascl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgascl.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
subrgascl.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgascl.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgascl.i (𝜑𝐼𝑊)
subrgascl.r (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgascl.c 𝐶 = (algSc‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
subrgascl (𝜑𝐶 = (𝐴𝑇))

Proof of Theorem subrgascl
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgascl.c . . . 4 𝐶 = (algSc‘𝑈)
2 eqid 2761 . . . 4 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
3 eqid 2761 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
41, 2, 3asclfn 19559 . . 3 𝐶 Fn (Base‘(Scalar‘𝑈))
5 subrgascl.r . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6 subrgascl.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
76subrgbas 19012 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑇 = (Base‘𝐻))
9 subrgascl.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
10 subrgascl.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑊)
11 ovex 6843 . . . . . . . . 9 (𝑅s 𝑇) ∈ V
126, 11eqeltri 2836 . . . . . . . 8 𝐻 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ V)
149, 10, 13mplsca 19668 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = (Scalar‘𝑈))
1514fveq2d 6358 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
168, 15eqtrd 2795 . . . 4 (𝜑𝑇 = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
1716fneq2d 6144 . . 3 (𝜑 → (𝐶 Fn 𝑇𝐶 Fn (Base‘(Scalar‘𝑈))))
184, 17mpbiri 248 . 2 (𝜑𝐶 Fn 𝑇)
19 subrgascl.a . . . . 5 𝐴 = (algSc‘𝑃)
20 eqid 2761 . . . . 5 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
21 eqid 2761 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
2219, 20, 21asclfn 19559 . . . 4 𝐴 Fn (Base‘(Scalar‘𝑃))
23 subrgascl.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
24 subrgrcl 19008 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
255, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2623, 10, 25mplsca 19668 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
2726fveq2d 6358 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
2827fneq2d 6144 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 Fn (Base‘𝑅) ↔ 𝐴 Fn (Base‘(Scalar‘𝑃))))
2922, 28mpbiri 248 . . 3 (𝜑𝐴 Fn (Base‘𝑅))
30 eqid 2761 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3130subrgss 19004 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
325, 31syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
33 fnssres 6166 . . 3 ((𝐴 Fn (Base‘𝑅) ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐴𝑇) Fn 𝑇)
3429, 32, 33syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑇) Fn 𝑇)
35 fvres 6370 . . . 4 (𝑥𝑇 → ((𝐴𝑇)‘𝑥) = (𝐴𝑥))
3635adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐴𝑇)‘𝑥) = (𝐴𝑥))
37 eqid 2761 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
386, 37subrg0 19010 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g𝑅) = (0g𝐻))
395, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝐻))
4039ifeq2d 4250 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻)))
4140adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻)))
4241mpteq2dv 4898 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻))))
43 eqid 2761 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4410adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝐼𝑊)
4525adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑅 ∈ Ring)
4632sselda 3745 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
4723, 43, 37, 30, 19, 44, 45, 46mplascl 19719 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐴𝑥) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅))))
48 eqid 2761 . . . . 5 (0g𝐻) = (0g𝐻)
49 eqid 2761 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
506subrgring 19006 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
515, 50syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Ring)
5251adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝐻 ∈ Ring)
538eleq2d 2826 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑇𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
5453biimpa 502 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
559, 43, 48, 49, 1, 44, 52, 54mplascl 19719 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐶𝑥) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻))))
5642, 47, 553eqtr4d 2805 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐴𝑥) = (𝐶𝑥))
5736, 56eqtr2d 2796 . 2 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐶𝑥) = ((𝐴𝑇)‘𝑥))
5818, 34, 57eqfnfvd 6479 1 (𝜑𝐶 = (𝐴𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  {crab 3055  Vcvv 3341  wss 3716  ifcif 4231  {csn 4322  cmpt 4882   × cxp 5265  ccnv 5266  cres 5269  cima 5270   Fn wfn 6045  cfv 6050  (class class class)co 6815  𝑚 cmap 8026  Fincfn 8124  0cc0 10149  cn 11233  0cn0 11505  Basecbs 16080  s cress 16081  Scalarcsca 16167  0gc0g 16323  Ringcrg 18768  SubRingcsubrg 18999  algSccascl 19534   mPoly cmpl 19576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-ofr 7065  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-hash 13333  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-tset 16183  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-mhm 17557  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-mulg 17763  df-subg 17813  df-ghm 17880  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-subrg 19001  df-ascl 19537  df-psr 19579  df-mpl 19581
This theorem is referenced by:  subrgasclcl  19722  subrg1ascl  19852
  Copyright terms: Public domain W3C validator