MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subnegd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subnegd 10605
Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subnegd (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subnegd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subneg 10536 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
41, 2, 3syl2anc 573 1 (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6796  cc 10140   + caddc 10145  cmin 10472  -cneg 10473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-ltxr 10285  df-sub 10474  df-neg 10475
This theorem is referenced by:  possumd  10858  dfceil2  12848  addmodlteq  12953  ipcnval  14091  fallfacfwd  14973  cossub  15105  znunit  20127  cphsqrtcl2  23205  ulmshft  24364  ptolemy  24469  efeq1  24496  quad2  24787  dcubic2  24792  dcubic  24794  mcubic  24795  dquartlem1  24799  quart  24809  asinlem  24816  asinlem2  24817  sinasin  24837  asinsin  24840  atandmtan  24868  atantan  24871  lgamgulmlem2  24977  lgambdd  24984  lgamucov  24985  lgseisenlem2  25322  rpvmasum2  25422  chpdifbndlem1  25463  pntrsumo1  25475  pntrlog2bndlem4  25490  nvabs  27867  breprexplemc  31050  logdivsqrle  31068  poimirlem29  33771  areacirc  33837  acongrep  38073  acongeq  38076  jm2.25  38092  jm2.26lem3  38094  radcnvrat  39039  dvradcnv2  39072  binomcxplemnotnn0  39081  fperiodmul  40032  itgsincmulx  40704  fourierdlem103  40940  fourierdlem109  40946  fourierdlem111  40948  sqwvfoura  40959  etransclem46  41011  hoicvrrex  41287  sigarms  41562  fmtnorec3  41985  2pwp1prm  42028
  Copyright terms: Public domain W3C validator