MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subneg 10531
Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
subneg ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subneg
StepHypRef Expression
1 df-neg 10470 . . . 4 -𝐵 = (0 − 𝐵)
21oveq2i 6803 . . 3 (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 − (0 − 𝐵))
3 0cn 10233 . . . 4 0 ∈ ℂ
4 subsub 10512 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (0 − 𝐵)) = ((𝐴 − 0) + 𝐵))
53, 4mp3an2 1559 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (0 − 𝐵)) = ((𝐴 − 0) + 𝐵))
62, 5syl5eq 2816 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = ((𝐴 − 0) + 𝐵))
7 subid1 10502 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
87adantr 466 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
98oveq1d 6807 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 0) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
106, 9eqtrd 2804 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  (class class class)co 6792  cc 10135  0cc0 10137   + caddc 10140  cmin 10467  -cneg 10468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-ltxr 10280  df-sub 10469  df-neg 10470
This theorem is referenced by:  negneg  10532  negdi  10539  neg2sub  10542  subnegi  10561  subnegd  10600  recextlem1  10858  fzshftral  12634  shftval4  14024  sqreulem  14306  sqreu  14307  fsumshftm  14719  fsumcube  14996  eftlub  15044  summodnegmod  15220  shft2rab  23495  atandm2  24824  atandm4  24826  acosneg  24834  atanneg  24854  atancj  24857  atanlogadd  24861  atanlogsublem  24862  atanlogsub  24863  efiatan2  24864  2efiatan  24865  tanatan  24866  atans2  24878  dvatan  24882  atantayl  24884  wilthlem1  25014  wilthlem3  25016  wilthimp  25018  ftalem7  25025  ppiub  25149  2sqlem11  25374  2sqblem  25376  cos2h  33726  tan2h  33727  ftc1anclem5  33814  2pwp1prm  42021
  Copyright terms: Public domain W3C validator