MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submod 18191
Description: The order of an element is the same in a subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
submod.h 𝐻 = (𝐺s 𝑌)
submod.o 𝑂 = (od‘𝐺)
submod.p 𝑃 = (od‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
submod ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑂𝐴) = (𝑃𝐴))

Proof of Theorem submod
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 750 . . . . . 6 (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2 nnnn0 11501 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
32adantl 467 . . . . . 6 (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ0)
4 simplr 752 . . . . . 6 (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → 𝐴𝑌)
5 eqid 2771 . . . . . . 7 (.g𝐺) = (.g𝐺)
6 submod.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺s 𝑌)
7 eqid 2771 . . . . . . 7 (.g𝐻) = (.g𝐻)
85, 6, 7submmulg 17794 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0𝐴𝑌) → (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (𝑥(.g𝐻)𝐴))
91, 3, 4, 8syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (𝑥(.g𝐻)𝐴))
10 eqid 2771 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
116, 10subm0 17564 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
1211ad2antrr 705 . . . . 5 (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
139, 12eqeq12d 2786 . . . 4 (((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺) ↔ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)))
1413rabbidva 3338 . . 3 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)})
15 eqeq1 2775 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)} → ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)} = ∅))
16 infeq1 8538 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)} → inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)}, ℝ, < ) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)}, ℝ, < ))
1715, 16ifbieq2d 4250 . . 3 ({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)} → if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)}, ℝ, < )) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)}, ℝ, < )))
1814, 17syl 17 . 2 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)}, ℝ, < )) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)}, ℝ, < )))
19 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2019submss 17558 . . . 4 (𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐺))
2120sselda 3752 . . 3 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
22 submod.o . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
23 eqid 2771 . . . 4 {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)}
2419, 5, 10, 22, 23odval 18160 . . 3 (𝐴 ∈ (Base‘𝐺) → (𝑂𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)}, ℝ, < )))
2521, 24syl 17 . 2 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑂𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐺)𝐴) = (0g𝐺)}, ℝ, < )))
26 simpr 471 . . . 4 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴𝑌)
2720adantr 466 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → 𝑌 ⊆ (Base‘𝐺))
286, 19ressbas2 16138 . . . . 5 (𝑌 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝑌 = (Base‘𝐻))
2927, 28syl 17 . . . 4 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → 𝑌 = (Base‘𝐻))
3026, 29eleqtrd 2852 . . 3 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐻))
31 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
32 eqid 2771 . . . 4 (0g𝐻) = (0g𝐻)
33 submod.p . . . 4 𝑃 = (od‘𝐻)
34 eqid 2771 . . . 4 {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)}
3531, 7, 32, 33, 34odval 18160 . . 3 (𝐴 ∈ (Base‘𝐻) → (𝑃𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)}, ℝ, < )))
3630, 35syl 17 . 2 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑃𝐴) = if({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)} = ∅, 0, inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑥(.g𝐻)𝐴) = (0g𝐻)}, ℝ, < )))
3718, 25, 363eqtr4d 2815 1 ((𝑌 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑂𝐴) = (𝑃𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  wss 3723  c0 4063  ifcif 4225  cfv 6031  (class class class)co 6793  infcinf 8503  cr 10137  0cc0 10138   < clt 10276  cn 11222  0cn0 11494  Basecbs 16064  s cress 16065  0gc0g 16308  SubMndcsubmnd 17542  .gcmg 17748  odcod 18151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-seq 13009  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-od 18155
This theorem is referenced by:  subgod  18192
  Copyright terms: Public domain W3C validator