MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submmulg 17794
Description: A group multiple is the same if evaluated in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
submmulgcl.t = (.g𝐺)
submmulg.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
submmulg.t · = (.g𝐻)
Assertion
Ref Expression
submmulg ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Proof of Theorem submmulg
StepHypRef Expression
1 simpl1 1227 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2 submmulg.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
3 eqid 2771 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
42, 3ressplusg 16201 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
51, 4syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
65seqeq2d 13015 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋})))
76fveq1d 6335 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
8 simpr 471 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
9 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
109submss 17558 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11103ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12 simp3 1132 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑋𝑆)
1311, 12sseldd 3753 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
1413adantr 466 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
15 submmulgcl.t . . . . 5 = (.g𝐺)
16 eqid 2771 . . . . 5 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))
179, 3, 15, 16mulgnn 17755 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
188, 14, 17syl2anc 573 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
192submbas 17563 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
20193ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
2112, 20eleqtrd 2852 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
2221adantr 466 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
23 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
24 eqid 2771 . . . . 5 (+g𝐻) = (+g𝐻)
25 submmulg.t . . . . 5 · = (.g𝐻)
26 eqid 2771 . . . . 5 seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))
2723, 24, 25, 26mulgnn 17755 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
288, 22, 27syl2anc 573 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
297, 18, 283eqtr4d 2815 . 2 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
30 simpl1 1227 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
31 eqid 2771 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
322, 31subm0 17564 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
3330, 32syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
3413adantr 466 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
359, 31, 15mulg0 17754 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0 𝑋) = (0g𝐺))
3634, 35syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 𝑋) = (0g𝐺))
3721adantr 466 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
38 eqid 2771 . . . . . 6 (0g𝐻) = (0g𝐻)
3923, 38, 25mulg0 17754 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘𝐻) → (0 · 𝑋) = (0g𝐻))
4037, 39syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g𝐻))
4133, 36, 403eqtr4d 2815 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 𝑋) = (0 · 𝑋))
42 simpr 471 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
4342oveq1d 6811 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 𝑋) = (0 𝑋))
4442oveq1d 6811 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
4541, 43, 443eqtr4d 2815 . 2 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
46 simp2 1131 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47 elnn0 11501 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4846, 47sylib 208 . 2 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4929, 45, 48mpjaodan 943 1 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  {csn 4317   × cxp 5248  cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143  cn 11226  0cn0 11499  seqcseq 13008  Basecbs 16064  s cress 16065  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  SubMndcsubmnd 17542  .gcmg 17748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-seq 13009  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749
This theorem is referenced by:  submod  18191  dchrfi  25201  dchrabs  25206  lgsqrlem1  25292  lgseisenlem4  25324  dchrisum0flblem1  25418  submarchi  30080  idomodle  38300  proot1ex  38305
  Copyright terms: Public domain W3C validator