Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submateqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submateqlem1 30213
Description: Lemma for submateq 30215. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
submateqlem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem1.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem1.m (𝜑𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem1.1 (𝜑𝐾𝑀)
Assertion
Ref Expression
submateqlem1 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem1
StepHypRef Expression
1 submateqlem1.1 . . . 4 (𝜑𝐾𝑀)
2 fz1ssnn 12579 . . . . . . 7 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
3 submateqlem1.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
42, 3sseldi 3750 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
54nnred 11237 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
6 submateqlem1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
76nnred 11237 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
8 1red 10257 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
97, 8resubcld 10660 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
10 elfzle2 12552 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
113, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
127lem1d 11159 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
135, 9, 7, 11, 12letrd 10396 . . . 4 (𝜑𝑀𝑁)
141, 13jca 501 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑀𝑀𝑁))
154nnzd 11683 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
16 fz1ssnn 12579 . . . . . 6 (1...𝑁) ⊆ ℕ
17 submateqlem1.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
1816, 17sseldi 3750 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
1918nnzd 11683 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
206nnzd 11683 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21 elfz 12539 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾𝑀𝑀𝑁)))
2215, 19, 20, 21syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾𝑀𝑀𝑁)))
2314, 22mpbird 247 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (𝐾...𝑁))
244nnnn0d 11553 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
2524nn0ge0d 11556 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
26 1re 10241 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
27 addge02 10741 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
2826, 5, 27sylancr 575 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
2925, 28mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
306nnnn0d 11553 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
31 nn0ltlem1 11639 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
3224, 30, 31syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
3311, 32mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑𝑀 < 𝑁)
34 nnltp1le 11635 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
354, 6, 34syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
3633, 35mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
3729, 36jca 501 . . . 4 (𝜑 → (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
3815peano2zd 11687 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
39 1zzd 11610 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
40 elfz 12539 . . . . 5 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
4138, 39, 20, 40syl3anc 1476 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
4237, 41mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
4318nnred 11237 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
44 nnleltp1 11634 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐾𝑀𝐾 < (𝑀 + 1)))
4518, 4, 44syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝑀𝐾 < (𝑀 + 1)))
461, 45mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑𝐾 < (𝑀 + 1))
4743, 46ltned 10375 . . . . 5 (𝜑𝐾 ≠ (𝑀 + 1))
4847necomd 2998 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 𝐾)
49 nelsn 4351 . . . 4 ((𝑀 + 1) ≠ 𝐾 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
5048, 49syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
5142, 50eldifd 3734 . 2 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
5223, 51jca 501 1 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  {csn 4316   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  cn 11222  0cn0 11494  cz 11579  ...cfz 12533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534
This theorem is referenced by:  submateq  30215
  Copyright terms: Public domain W3C validator