Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submat1n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submat1n 30202
Description: One case where the submatrix with integer indices, subMat1, and the general submatrix subMat, agree. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
submat1n.a 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
submat1n.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
submat1n ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁))

Proof of Theorem submat1n
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzdif2 29882 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
2 nnuz 11937 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
31, 2eleq2s 2858 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
43adantr 472 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
54adantr 472 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁})) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
6 eqid 2761 . . . . 5 (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)
7 elfz1end 12585 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (1...𝑁))
87biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
98adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
109, 7sylibr 224 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
1110adantr 472 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑁 ∈ ℕ)
1211, 8syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
13 submat1n.a . . . . . . 7 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
14 eqid 2761 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15 submat1n.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
1613, 14, 15matbas2i 20451 . . . . . 6 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
1716ad2antlr 765 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
18 simprl 811 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
19 nnz 11612 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
20 fzoval 12686 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
2221, 3eqtr4d 2798 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1..^𝑁) = ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
2311, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → (1..^𝑁) = ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
2418, 23eleqtrrd 2843 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑖 ∈ (1..^𝑁))
25 simprr 813 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))
2625, 23eleqtrrd 2843 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → 𝑗 ∈ (1..^𝑁))
276, 11, 11, 12, 12, 17, 24, 26smattl 30195 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
2827eqcomd 2767 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ∧ 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}))) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗))
294, 5, 28mpt2eq123dva 6883 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗)))
30 simpr 479 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
31 eqid 2761 . . . 4 ((1...𝑁) subMat 𝑅) = ((1...𝑁) subMat 𝑅)
3213, 31, 15submaval 20610 . . 3 ((𝑀𝐵𝑁 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
3330, 9, 9, 32syl3anc 1477 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
34 eqid 2761 . . . 4 (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
3513, 15, 34, 6, 10, 9, 9, 30smatcl 30199 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
36 eqid 2761 . . . 4 ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅) = ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)
3736, 34matmpt2 30200 . . 3 ((𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗)))
3835, 37syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖(𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁)𝑗)))
3929, 33, 383eqtr4rd 2806 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  cdif 3713  {csn 4322   × cxp 5265  cfv 6050  (class class class)co 6815  cmpt2 6817  𝑚 cmap 8026  1c1 10150  cmin 10479  cn 11233  cz 11590  cuz 11900  ...cfz 12540  ..^cfzo 12680  Basecbs 16080   Mat cmat 20436   subMat csubma 20605  subMat1csmat 30190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-ot 4331  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-sup 8516  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-hom 16189  df-cco 16190  df-0g 16325  df-prds 16331  df-pws 16333  df-sra 19395  df-rgmod 19396  df-dsmm 20299  df-frlm 20314  df-mat 20437  df-subma 20606  df-smat 30191
This theorem is referenced by:  submatres  30203  madjusmdetlem1  30224
  Copyright terms: Public domain W3C validator