MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgrcl 17792
Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subgrcl (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2752 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21issubg 17787 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺s 𝑆) ∈ Grp))
32simp1bi 1139 1 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2131  wss 3707  cfv 6041  (class class class)co 6805  Basecbs 16051  s cress 16052  Grpcgrp 17615  SubGrpcsubg 17781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fv 6049  df-ov 6808  df-subg 17784
This theorem is referenced by:  subg0  17793  subginv  17794  subgmulgcl  17800  subgsubm  17809  subsubg  17810  subgint  17811  isnsg  17816  nsgconj  17820  isnsg3  17821  ssnmz  17829  nmznsg  17831  eqger  17837  eqgid  17839  eqgen  17840  eqgcpbl  17841  qusgrp  17842  quseccl  17843  qusadd  17844  qus0  17845  qusinv  17846  qussub  17847  resghm2  17870  resghm2b  17871  conjsubg  17885  conjsubgen  17886  conjnmz  17887  conjnmzb  17888  qusghm  17890  subgga  17925  gastacos  17935  orbstafun  17936  cntrsubgnsg  17965  oppgsubg  17985  isslw  18215  sylow2blem1  18227  sylow2blem2  18228  sylow2blem3  18229  slwhash  18231  lsmval  18255  lsmelval  18256  lsmelvali  18257  lsmelvalm  18258  lsmsubg  18261  lsmless1  18266  lsmless2  18267  lsmless12  18268  lsmass  18275  lsm01  18276  lsm02  18277  subglsm  18278  lsmmod  18280  lsmcntz  18284  lsmcntzr  18285  lsmdisj2  18287  subgdisj1  18296  pj1f  18302  pj1id  18304  pj1lid  18306  pj1rid  18307  pj1ghm  18308  subgdmdprd  18625  subgdprd  18626  dprdsn  18627  pgpfaclem2  18673  cldsubg  22107
  Copyright terms: Public domain W3C validator