Theorem subgnm 22484

Description: The norm in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgngp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
subgnm.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
subgnm.m	⊢ 𝑀 = (norm‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
subgnm	⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑀 = (𝑁 ↾ 𝐴))

Proof of Theorem subgnm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 17642	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
3	2	resmptd 5487	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))))
4		subgngp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
5	4	subgbas 17645	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
6		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
7	4, 6	ressds 16120	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
8		eqidd 2652	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥 = 𝑥)
9		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
10	4, 9	subg0 17647	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) = (0g‘𝐻))
11	7, 8, 10	oveq123d 6711	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻)))
12	5, 11	mpteq12dv 4766	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻))))
13	3, 12	eqtr2d 2686	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻))) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) ↾ 𝐴))
14		subgnm.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝐻)
15		eqid 2651	. . 3 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
16		eqid 2651	. . 3 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
17		eqid 2651	. . 3 ⊢ (dist‘𝐻) = (dist‘𝐻)
18	14, 15, 16, 17	nmfval 22440	. 2 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(dist‘𝐻)(0g‘𝐻)))
19		subgnm.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
20	19, 1, 9, 6	nmfval 22440	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
21	20	reseq1i 5424	. 2 ⊢ (𝑁 ↾ 𝐴) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(dist‘𝐺)(0g‘𝐺))) ↾ 𝐴)
22	13, 18, 21	3eqtr4g 2710	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑀 = (𝑁 ↾ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ↦ cmpt 4762   ↾ cres 5145  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904   ↾_s cress 15905  distcds 15997  0_gc0g 16147  SubGrpcsubg 17635  normcnm 22428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-ds 16011  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-subg 17638  df-nm 22434

This theorem is referenced by:  subgnm2  22485  subrgnrg  22524  isncvsngp  22995