MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgngp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgngp 22659
Description: A normed group restricted to a subgroup is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgngp.h 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subgngp ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmGrp)

Proof of Theorem subgngp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgngp.h . . . 4 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
21subggrp 17805 . . 3 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
32adantl 467 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Grp)
4 ngpms 22624 . . . 4 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ MetSp)
5 ressms 22551 . . . 4 ((𝐺 ∈ MetSp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺s 𝐴) ∈ MetSp)
64, 5sylan 569 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺s 𝐴) ∈ MetSp)
71, 6syl5eqel 2854 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ MetSp)
8 simplr 752 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9 simprl 754 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
101subgbas 17806 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
1110ad2antlr 706 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
129, 11eleqtrrd 2853 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑥𝐴)
13 simprr 756 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))
1413, 11eleqtrrd 2853 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑦𝐴)
15 eqid 2771 . . . . . . 7 (-g𝐺) = (-g𝐺)
16 eqid 2771 . . . . . . 7 (-g𝐻) = (-g𝐻)
1715, 1, 16subgsub 17814 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) = (𝑥(-g𝐻)𝑦))
188, 12, 14, 17syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) = (𝑥(-g𝐻)𝑦))
1918fveq2d 6336 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐻)𝑦)))
20 eqid 2771 . . . . . . . 8 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
211, 20ressds 16281 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
2221ad2antlr 706 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (dist‘𝐺) = (dist‘𝐻))
2322oveqd 6810 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = (𝑥(dist‘𝐻)𝑦))
24 simpll 750 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
25 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2625subgss 17803 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
2726ad2antlr 706 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
2827, 12sseldd 3753 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
2927, 14sseldd 3753 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
30 eqid 2771 . . . . . . 7 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
3130, 25, 15, 20ngpds 22628 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)))
3224, 28, 29, 31syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐺)𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)))
3323, 32eqtr3d 2807 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐺)𝑦)))
34 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3534, 16grpsubcl 17703 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(-g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
36353expb 1113 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
373, 36sylan 569 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g𝐻)𝑦) ∈ (Base‘𝐻))
3837, 11eleqtrrd 2853 . . . . 5 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(-g𝐻)𝑦) ∈ 𝐴)
39 eqid 2771 . . . . . 6 (norm‘𝐻) = (norm‘𝐻)
401, 30, 39subgnm2 22658 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑥(-g𝐻)𝑦) ∈ 𝐴) → ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g𝐻)𝑦)) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐻)𝑦)))
418, 38, 40syl2anc 573 . . . 4 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g𝐻)𝑦)) = ((norm‘𝐺)‘(𝑥(-g𝐻)𝑦)))
4219, 33, 413eqtr4d 2815 . . 3 (((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻))) → (𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g𝐻)𝑦)))
4342ralrimivva 3120 . 2 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g𝐻)𝑦)))
44 eqid 2771 . . 3 (dist‘𝐻) = (dist‘𝐻)
4539, 16, 44, 34isngp3 22622 . 2 (𝐻 ∈ NrmGrp ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ MetSp ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐻)(𝑥(dist‘𝐻)𝑦) = ((norm‘𝐻)‘(𝑥(-g𝐻)𝑦))))
463, 7, 43, 45syl3anbrc 1428 1 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ NrmGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wss 3723  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  s cress 16065  distcds 16158  Grpcgrp 17630  -gcsg 17632  SubGrpcsubg 17796  MetSpcmt 22343  normcnm 22601  NrmGrpcngp 22602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-tset 16168  df-ds 16172  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-topgen 16312  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-xms 22345  df-ms 22346  df-nm 22607  df-ngp 22608
This theorem is referenced by:  subrgnrg  22697  lssnlm  22725
  Copyright terms: Public domain W3C validator