MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subggrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subggrp 17819
Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subggrp.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
subggrp (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp
StepHypRef Expression
1 subggrp.h . 2 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
2 eqid 2761 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
32issubg 17816 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺s 𝑆) ∈ Grp))
43simp3bi 1142 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
51, 4syl5eqel 2844 1 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2140  wss 3716  cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  s cress 16081  Grpcgrp 17644  SubGrpcsubg 17810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fv 6058  df-ov 6818  df-subg 17813
This theorem is referenced by:  subg0  17822  subginv  17823  subg0cl  17824  subginvcl  17825  subgcl  17826  issubg2  17831  issubgrpd  17833  subsubg  17839  resghm  17898  resghm2b  17900  subgga  17954  gasubg  17956  odsubdvds  18207  pgp0  18232  subgpgp  18233  sylow2blem2  18257  slwhash  18260  fislw  18261  subglsm  18307  pj1ghm  18337  subgabl  18462  cycsubgcyg  18523  subgdmdprd  18654  subgdprd  18655  ablfacrplem  18685  pgpfaclem1  18701  pgpfaclem3  18703  ablfaclem3  18707  issubrg2  19023  islss3  19182  mplgrp  19673  zringcyg  20062  cnmsgngrp  20148  psgnghm  20149  scmatghm  20562  m2cpmrngiso  20786  subgtgp  22131  subgngp  22661  reefgim  24424  amgmlemALT  43081
  Copyright terms: Public domain W3C validator