Theorem subge0d 10829

Description: Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
subge0d	⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem subge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		subge0 10753	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 696	1 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  ℝcr 10147  0cc0 10148   ≤ cle 10287   − cmin 10478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481

This theorem is referenced by:  ofsubge0  11231  uzsubsubfz  12576  modsubdir  12953  modsumfzodifsn  12957  serle  13070  discr  13215  bcval5  13319  fzomaxdiflem  14301  sqreulem  14318  amgm2  14328  climle  14589  rlimle  14597  iseralt  14634  fsumle  14750  cvgcmp  14767  binomrisefac  14992  smuval2  15426  pcz  15807  4sqlem15  15885  mndodconglem  18180  ipcau2  23253  pjthlem1  23428  ovolicc2lem4  23508  vitalilem2  23597  itg1lea  23698  dvlip  23975  dvge0  23988  dvle  23989  dvivthlem1  23990  dvfsumlem2  24009  dvfsumlem4  24011  loglesqrt  24719  emcllem6  24947  harmoniclbnd  24955  basellem9  25035  gausslemma2dlem0h  25308  lgseisenlem1  25320  vmadivsum  25391  rplogsumlem1  25393  dchrisumlem2  25399  rplogsum  25436  vmalogdivsum2  25447  selberg2lem  25459  logdivbnd  25465  pntpbnd2  25496  pntibndlem2  25500  pntlemg  25507  pntlemn  25509  ttgcontlem1  25985  brbtwn2  26005  axpaschlem  26040  axcontlem8  26071  crctcsh  26948  clwlkclwwlklem2a1  27136  clwlkclwwlklem2fv2  27140  pjhthlem1  28580  leop2  29313  pjssposi  29361  2sqmod  29978  fdvposle  31009  rddif2  32794  dnibndlem4  32798  broucube  33774  areacirclem2  33832  areacirclem4  33834  areacirclem5  33835  areacirc  33836  acongrep  38067  lptre2pt  40393  dvnmul  40679  dvnprodlem1  40682  dvnprodlem2  40683  stoweidlem1  40739  stoweidlem26  40764  stoweidlem62  40800  wallispilem4  40806  fourierdlem26  40871  fourierdlem42  40887  fourierdlem65  40909  fourierdlem75  40919  elaa2lem  40971  etransclem3  40975  etransclem7  40979  etransclem10  40982  etransclem20  40992  etransclem21  40993  etransclem22  40994  etransclem24  40996  etransclem27  40999  hoidmvlelem1  41333  nnpw2pmod  42905