Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgdisjb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgdisjb 18312
 Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. Analogous to opth 5072, this theorem shows a way of representing a pair of vectors. (Contributed by NM, 5-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
subgdisj.p + = (+g𝐺)
subgdisj.o 0 = (0g𝐺)
subgdisj.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
subgdisj.s (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
subgdisj.a (𝜑𝐴𝑇)
subgdisj.c (𝜑𝐶𝑇)
subgdisj.b (𝜑𝐵𝑈)
subgdisj.d (𝜑𝐷𝑈)
Assertion
Ref Expression
subgdisjb (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem subgdisjb
StepHypRef Expression
1 subgdisj.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
2 subgdisj.o . . . . 5 0 = (0g𝐺)
3 subgdisj.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4 subgdisj.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
54adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 subgdisj.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
76adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8 subgdisj.i . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
98adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → (𝑇𝑈) = { 0 })
10 subgdisj.s . . . . . 6 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
1110adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
12 subgdisj.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑇)
1312adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐴𝑇)
14 subgdisj.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑇)
1514adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐶𝑇)
16 subgdisj.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑈)
1716adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐵𝑈)
18 subgdisj.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑈)
1918adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐷𝑈)
20 simpr 471 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
211, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20subgdisj1 18310 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐴 = 𝐶)
221, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20subgdisj2 18311 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → 𝐵 = 𝐷)
2321, 22jca 495 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
2423ex 397 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
25 oveq12 6801 . 2 ((𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
2624, 25impbid1 215 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ∩ cin 3720   ⊆ wss 3721  {csn 4314  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  +gcplusg 16148  0gc0g 16307  SubGrpcsubg 17795  Cntzccntz 17954 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-cntz 17956 This theorem is referenced by:  pj1eu  18315  pj1eq  18319  lvecindp2  19352
 Copyright terms: Public domain W3C validator