MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgdisj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgdisj2 18326
Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. (Contributed by NM, 12-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
subgdisj.p + = (+g𝐺)
subgdisj.o 0 = (0g𝐺)
subgdisj.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
subgdisj.s (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
subgdisj.a (𝜑𝐴𝑇)
subgdisj.c (𝜑𝐶𝑇)
subgdisj.b (𝜑𝐵𝑈)
subgdisj.d (𝜑𝐷𝑈)
subgdisj.j (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
Assertion
Ref Expression
subgdisj2 (𝜑𝐵 = 𝐷)

Proof of Theorem subgdisj2
StepHypRef Expression
1 subgdisj.p . 2 + = (+g𝐺)
2 subgdisj.o . 2 0 = (0g𝐺)
3 subgdisj.z . 2 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4 subgdisj.u . 2 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 subgdisj.t . 2 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 incom 3949 . . 3 (𝑇𝑈) = (𝑈𝑇)
7 subgdisj.i . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
86, 7syl5eqr 2809 . 2 (𝜑 → (𝑈𝑇) = { 0 })
9 subgdisj.s . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
103, 5, 4, 9cntzrecd 18312 . 2 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑍𝑇))
11 subgdisj.b . 2 (𝜑𝐵𝑈)
12 subgdisj.d . 2 (𝜑𝐷𝑈)
13 subgdisj.a . 2 (𝜑𝐴𝑇)
14 subgdisj.c . 2 (𝜑𝐶𝑇)
15 subgdisj.j . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
169, 13sseldd 3746 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑍𝑈))
171, 3cntzi 17983 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝑍𝑈) ∧ 𝐵𝑈) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
1816, 11, 17syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
199, 14sseldd 3746 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝑍𝑈))
201, 3cntzi 17983 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑍𝑈) ∧ 𝐷𝑈) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
2119, 12, 20syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
2215, 18, 213eqtr3d 2803 . 2 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) = (𝐷 + 𝐶))
231, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 22subgdisj1 18325 1 (𝜑𝐵 = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2140  cin 3715  wss 3716  {csn 4322  cfv 6050  (class class class)co 6815  +gcplusg 16164  0gc0g 16323  SubGrpcsubg 17810  Cntzccntz 17969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-0g 16325  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-subg 17813  df-cntz 17971
This theorem is referenced by:  subgdisjb  18327  lvecindp  19361  lshpsmreu  34918  lshpkrlem5  34923
  Copyright terms: Public domain W3C validator