MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgdisj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgdisj1 18311
Description: Vectors belonging to disjoint commuting subgroups are uniquely determined by their sum. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
subgdisj.p + = (+g𝐺)
subgdisj.o 0 = (0g𝐺)
subgdisj.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
subgdisj.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
subgdisj.i (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
subgdisj.s (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
subgdisj.a (𝜑𝐴𝑇)
subgdisj.c (𝜑𝐶𝑇)
subgdisj.b (𝜑𝐵𝑈)
subgdisj.d (𝜑𝐷𝑈)
subgdisj.j (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
Assertion
Ref Expression
subgdisj1 (𝜑𝐴 = 𝐶)

Proof of Theorem subgdisj1
StepHypRef Expression
1 subgdisj.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 subgdisj.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑇)
3 subgdisj.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑇)
4 eqid 2771 . . . . . . 7 (-g𝐺) = (-g𝐺)
54subgsubcl 17813 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑇𝐶𝑇) → (𝐴(-g𝐺)𝐶) ∈ 𝑇)
61, 2, 3, 5syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(-g𝐺)𝐶) ∈ 𝑇)
7 subgdisj.j . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
8 subgdisj.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
98, 3sseldd 3753 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (𝑍𝑈))
10 subgdisj.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑈)
11 subgdisj.p . . . . . . . . . . 11 + = (+g𝐺)
12 subgdisj.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
1311, 12cntzi 17969 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (𝑍𝑈) ∧ 𝐵𝑈) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
149, 10, 13syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
157, 14oveq12d 6811 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)(𝐶 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
16 subgrcl 17807 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
171, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
18 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1918subgss 17803 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
2120, 2sseldd 3753 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
22 subgdisj.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2318subgss 17803 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
2524, 10sseldd 3753 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
2618, 11grpcl 17638 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
2717, 21, 25, 26syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
2820, 3sseldd 3753 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (Base‘𝐺))
2918, 11, 4grpsubsub4 17716 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺))) → (((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)𝐵)(-g𝐺)𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)(𝐶 + 𝐵)))
3017, 27, 25, 28, 29syl13anc 1478 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)𝐵)(-g𝐺)𝐶) = ((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)(𝐶 + 𝐵)))
317, 27eqeltrrd 2851 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ (Base‘𝐺))
3218, 11, 4grpsubsub4 17716 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐶 + 𝐷) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))) → (((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)𝐶)(-g𝐺)𝐵) = ((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
3317, 31, 28, 25, 32syl13anc 1478 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)𝐶)(-g𝐺)𝐵) = ((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)(𝐵 + 𝐶)))
3415, 30, 333eqtr4d 2815 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)𝐵)(-g𝐺)𝐶) = (((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)𝐶)(-g𝐺)𝐵))
3518, 11, 4grppncan 17714 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)𝐵) = 𝐴)
3617, 21, 25, 35syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)𝐵) = 𝐴)
3736oveq1d 6808 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)(-g𝐺)𝐵)(-g𝐺)𝐶) = (𝐴(-g𝐺)𝐶))
38 subgdisj.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷𝑈)
3911, 12cntzi 17969 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (𝑍𝑈) ∧ 𝐷𝑈) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
409, 38, 39syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
4140oveq1d 6808 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)𝐶) = ((𝐷 + 𝐶)(-g𝐺)𝐶))
4224, 38sseldd 3753 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (Base‘𝐺))
4318, 11, 4grppncan 17714 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐷 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐷 + 𝐶)(-g𝐺)𝐶) = 𝐷)
4417, 42, 28, 43syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷 + 𝐶)(-g𝐺)𝐶) = 𝐷)
4541, 44eqtrd 2805 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)𝐶) = 𝐷)
4645oveq1d 6808 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶 + 𝐷)(-g𝐺)𝐶)(-g𝐺)𝐵) = (𝐷(-g𝐺)𝐵))
4734, 37, 463eqtr3d 2813 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(-g𝐺)𝐶) = (𝐷(-g𝐺)𝐵))
484subgsubcl 17813 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐷𝑈𝐵𝑈) → (𝐷(-g𝐺)𝐵) ∈ 𝑈)
4922, 38, 10, 48syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷(-g𝐺)𝐵) ∈ 𝑈)
5047, 49eqeltrd 2850 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(-g𝐺)𝐶) ∈ 𝑈)
516, 50elind 3949 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(-g𝐺)𝐶) ∈ (𝑇𝑈))
52 subgdisj.i . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
5351, 52eleqtrd 2852 . . 3 (𝜑 → (𝐴(-g𝐺)𝐶) ∈ { 0 })
54 elsni 4333 . . 3 ((𝐴(-g𝐺)𝐶) ∈ { 0 } → (𝐴(-g𝐺)𝐶) = 0 )
5553, 54syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴(-g𝐺)𝐶) = 0 )
56 subgdisj.o . . . 4 0 = (0g𝐺)
5718, 56, 4grpsubeq0 17709 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐴(-g𝐺)𝐶) = 0𝐴 = 𝐶))
5817, 21, 28, 57syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → ((𝐴(-g𝐺)𝐶) = 0𝐴 = 𝐶))
5955, 58mpbid 222 1 (𝜑𝐴 = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145  cin 3722  wss 3723  {csn 4316  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  -gcsg 17632  SubGrpcsubg 17796  Cntzccntz 17955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957
This theorem is referenced by:  subgdisj2  18312  subgdisjb  18313  lvecindp  19352
  Copyright terms: Public domain W3C validator