MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgcl 17805
Description: A subgroup is closed under group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subgcl.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
subgcl ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem subgcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . . 5 (𝐺s 𝑆) = (𝐺s 𝑆)
21subggrp 17798 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
323ad2ant1 1128 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
4 simp2 1132 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋𝑆)
51subgbas 17799 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
653ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
74, 6eleqtrd 2841 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
8 simp3 1133 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌𝑆)
98, 6eleqtrd 2841 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
10 eqid 2760 . . . 4 (Base‘(𝐺s 𝑆)) = (Base‘(𝐺s 𝑆))
11 eqid 2760 . . . 4 (+g‘(𝐺s 𝑆)) = (+g‘(𝐺s 𝑆))
1210, 11grpcl 17631 . . 3 (((𝐺s 𝑆) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆))) → (𝑋(+g‘(𝐺s 𝑆))𝑌) ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
133, 7, 9, 12syl3anc 1477 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋(+g‘(𝐺s 𝑆))𝑌) ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
14 subgcl.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
151, 14ressplusg 16195 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → + = (+g‘(𝐺s 𝑆)))
16153ad2ant1 1128 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → + = (+g‘(𝐺s 𝑆)))
1716oveqd 6830 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋(+g‘(𝐺s 𝑆))𝑌))
1813, 17, 63eltr4d 2854 1 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  s cress 16060  +gcplusg 16143  Grpcgrp 17623  SubGrpcsubg 17789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-subg 17792
This theorem is referenced by:  subgsubcl  17806  subgmulgcl  17808  issubg2  17810  subgint  17819  ssnmz  17837  eqger  17845  eqgcpbl  17849  resghm  17877  ghmpreima  17883  subgga  17933  gasubg  17935  sylow2blem2  18236  lsmidm  18277  lsmmod  18288  pj1ghm  18316  dprdfadd  18619  pgpfac1lem3  18676  subrgacl  18993  islss4  19164  mpllsslem  19637  subgntr  22111  taylply2  24321  efgh  24486
  Copyright terms: Public domain W3C validator