Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacval3 31526
Description: Another closed form expression for the subfactorial. The expression ⌊‘(𝑥 + 1 / 2) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
Assertion
Ref Expression
subfacval3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) = (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem subfacval3
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11523 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 derang.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
3 subfac.n . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
42, 3subfacf 31512 . . . . . . . 8 𝑆:ℕ0⟶ℕ0
54ffvelrni 6518 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑁) ∈ ℕ0)
61, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℕ0)
76nn0zd 11704 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℤ)
87zred 11706 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℝ)
9 faccl 13296 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
1110nnred 11258 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
12 epr 15164 . . . . . 6 e ∈ ℝ+
13 rerpdivcl 12081 . . . . . 6 (((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ)
1411, 12, 13sylancl 575 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ)
15 halfre 11470 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
16 readdcl 10242 . . . . 5 ((((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1714, 15, 16sylancl 575 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
18 elnn1uz2 11990 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
19 fveq2 6348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = (!‘1))
20 fac1 13290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (!‘1) = 1
2119, 20syl6eq 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = 1)
2221oveq1d 6827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 1 → ((!‘𝑁) / e) = (1 / e))
23 fveq2 6348 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = 1 → (𝑆𝑁) = (𝑆‘1))
242, 3subfac1 31515 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆‘1) = 0
2523, 24syl6eq 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 1 → (𝑆𝑁) = 0)
2622, 25oveq12d 6830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) = ((1 / e) − 0))
27 rpreccl 12077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (e ∈ ℝ+ → (1 / e) ∈ ℝ+)
2812, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / e) ∈ ℝ+
29 rpre 12059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / e) ∈ ℝ+ → (1 / e) ∈ ℝ)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / e) ∈ ℝ
3130recni 10275 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / e) ∈ ℂ
3231subid1i 10576 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / e) − 0) = (1 / e)
3326, 32syl6eq 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) = (1 / e))
3433fveq2d 6352 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) = (abs‘(1 / e)))
35 rpge0 12065 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / e) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / e))
3628, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (1 / e)
37 absid 14266 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / e) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / e)) → (abs‘(1 / e)) = (1 / e))
3830, 36, 37mp2an 673 . . . . . . . . . . 11 (abs‘(1 / e)) = (1 / e)
3934, 38syl6eq 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) = (1 / e))
40 egt2lt3 15162 . . . . . . . . . . . 12 (2 < e ∧ e < 3)
4140simpli 471 . . . . . . . . . . 11 2 < e
42 2re 11313 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
43 ere 15047 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ
44 2pos 11335 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
45 epos 15163 . . . . . . . . . . . 12 0 < e
4642, 43, 44, 45ltrecii 11163 . . . . . . . . . . 11 (2 < e ↔ (1 / e) < (1 / 2))
4741, 46mpbi 221 . . . . . . . . . 10 (1 / e) < (1 / 2)
4839, 47syl6eqbr 4836 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2))
49 eluz2nn 11950 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
5014, 8resubcld 10681 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) ∈ ℝ)
5150recnd 10291 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) ∈ ℂ)
5249, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) ∈ ℂ)
5352abscld 14405 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) ∈ ℝ)
5449nnrecred 11289 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
5515a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 / 2) ∈ ℝ)
562, 3subfaclim 31525 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 𝑁))
5749, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 𝑁))
58 eluzle 11923 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
59 nnre 11250 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
60 nngt0 11272 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
61 lerec 11129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
6242, 44, 61mpanl12 683 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
6359, 60, 62syl2anc 574 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
6449, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
6558, 64mpbid 223 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2))
6653, 54, 55, 57, 65ltletrd 10420 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2))
6748, 66jaoi 873 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2))
6818, 67sylbi 208 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2))
6915a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
7014, 8, 69absdifltd 14402 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2) ↔ (((𝑆𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ∧ ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆𝑁) + (1 / 2)))))
7168, 70mpbid 223 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ∧ ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆𝑁) + (1 / 2))))
7271simpld 483 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e))
738, 69, 14ltsubaddd 10846 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ↔ (𝑆𝑁) < (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))
7472, 73mpbid 223 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) < (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)))
758, 17, 74ltled 10408 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)))
76 readdcl 10242 . . . . . 6 (((𝑆𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑆𝑁) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
778, 15, 76sylancl 575 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆𝑁) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
7871simprd 484 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆𝑁) + (1 / 2)))
7914, 77, 69, 78ltadd1dd 10861 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < (((𝑆𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
808recnd 10291 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℂ)
8169recnd 10291 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
8280, 81, 81addassd 10285 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑆𝑁) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
83 ax-1cn 10217 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
84 2halves 11484 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
8583, 84ax-mp 5 . . . . . 6 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
8685oveq2i 6823 . . . . 5 ((𝑆𝑁) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑆𝑁) + 1)
8782, 86syl6eq 2824 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑆𝑁) + 1))
8879, 87breqtrd 4823 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆𝑁) + 1))
89 flbi 12847 . . . 4 (((((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑁) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆𝑁) ↔ ((𝑆𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆𝑁) + 1))))
9017, 7, 89syl2anc 574 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆𝑁) ↔ ((𝑆𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆𝑁) + 1))))
9175, 88, 90mpbir2and 693 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆𝑁))
9291eqcomd 2780 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) = (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 383  wo 863   = wceq 1634  wcel 2148  {cab 2760  wne 2946  wral 3064   class class class wbr 4797  cmpt 4876  1-1-ontowf1o 6041  cfv 6042  (class class class)co 6812  Fincfn 8130  cc 10157  cr 10158  0cc0 10159  1c1 10160   + caddc 10162   < clt 10297  cle 10298  cmin 10489   / cdiv 10907  cn 11243  2c2 11293  3c3 11294  0cn0 11516  cz 11601  cuz 11910  +crp 12052  ...cfz 12555  cfl 12821  !cfa 13286  chash 13343  abscabs 14204  eceu 15021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-inf2 8723  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236  ax-pre-sup 10237  ax-addf 10238  ax-mulf 10239
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-fal 1640  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-se 5223  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-isom 6051  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-2o 7735  df-oadd 7738  df-er 7917  df-map 8032  df-pm 8033  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-sup 8525  df-inf 8526  df-oi 8592  df-card 8986  df-cda 9213  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-div 10908  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-4 11304  df-n0 11517  df-xnn0 11588  df-z 11602  df-uz 11911  df-q 12014  df-rp 12053  df-ico 12405  df-fz 12556  df-fzo 12696  df-fl 12823  df-seq 13031  df-exp 13090  df-fac 13287  df-bc 13316  df-hash 13344  df-shft 14037  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-limsup 14432  df-clim 14449  df-rlim 14450  df-sum 14647  df-ef 15026  df-e 15027
This theorem is referenced by:  derangfmla  31527
  Copyright terms: Public domain W3C validator