Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacval3 31297
Description: Another closed form expression for the subfactorial. The expression ⌊‘(𝑥 + 1 / 2) is a way of saying "rounded to the nearest integer". (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
Assertion
Ref Expression
subfacval3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) = (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem subfacval3
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11337 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 derang.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
3 subfac.n . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
42, 3subfacf 31283 . . . . . . . 8 𝑆:ℕ0⟶ℕ0
54ffvelrni 6398 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑁) ∈ ℕ0)
61, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℕ0)
76nn0zd 11518 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℤ)
87zred 11520 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℝ)
9 faccl 13110 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
1110nnred 11073 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
12 epr 14980 . . . . . 6 e ∈ ℝ+
13 rerpdivcl 11899 . . . . . 6 (((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ)
1411, 12, 13sylancl 695 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ)
15 halfre 11284 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
16 readdcl 10057 . . . . 5 ((((!‘𝑁) / e) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
1714, 15, 16sylancl 695 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
18 elnn1uz2 11803 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
19 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = (!‘1))
20 fac1 13104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (!‘1) = 1
2119, 20syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = 1 → (!‘𝑁) = 1)
2221oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 1 → ((!‘𝑁) / e) = (1 / e))
23 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = 1 → (𝑆𝑁) = (𝑆‘1))
242, 3subfac1 31286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆‘1) = 0
2523, 24syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 1 → (𝑆𝑁) = 0)
2622, 25oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) = ((1 / e) − 0))
27 rpreccl 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (e ∈ ℝ+ → (1 / e) ∈ ℝ+)
2812, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / e) ∈ ℝ+
29 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / e) ∈ ℝ+ → (1 / e) ∈ ℝ)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / e) ∈ ℝ
3130recni 10090 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / e) ∈ ℂ
3231subid1i 10391 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / e) − 0) = (1 / e)
3326, 32syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) = (1 / e))
3433fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) = (abs‘(1 / e)))
35 rpge0 11883 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / e) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / e))
3628, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (1 / e)
37 absid 14080 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / e) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / e)) → (abs‘(1 / e)) = (1 / e))
3830, 36, 37mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 (abs‘(1 / e)) = (1 / e)
3934, 38syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) = (1 / e))
40 egt2lt3 14978 . . . . . . . . . . . 12 (2 < e ∧ e < 3)
4140simpli 473 . . . . . . . . . . 11 2 < e
42 2re 11128 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
43 ere 14863 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ
44 2pos 11150 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
45 epos 14979 . . . . . . . . . . . 12 0 < e
4642, 43, 44, 45ltrecii 10978 . . . . . . . . . . 11 (2 < e ↔ (1 / e) < (1 / 2))
4741, 46mpbi 220 . . . . . . . . . 10 (1 / e) < (1 / 2)
4839, 47syl6eqbr 4724 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2))
49 eluz2nn 11764 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
5014, 8resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) ∈ ℝ)
5150recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) ∈ ℂ)
5249, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) ∈ ℂ)
5352abscld 14219 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) ∈ ℝ)
5449nnrecred 11104 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
5515a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 / 2) ∈ ℝ)
562, 3subfaclim 31296 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 𝑁))
5749, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 𝑁))
58 eluzle 11738 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
59 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
60 nngt0 11087 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
61 lerec 10944 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
6242, 44, 61mpanl12 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
6359, 60, 62syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
6449, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ≤ 𝑁 ↔ (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2)))
6558, 64mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1 / 𝑁) ≤ (1 / 2))
6653, 54, 55, 57, 65ltletrd 10235 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2))
6748, 66jaoi 393 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2))
6818, 67sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2))
6915a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
7014, 8, 69absdifltd 14216 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 2) ↔ (((𝑆𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ∧ ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆𝑁) + (1 / 2)))))
7168, 70mpbid 222 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ∧ ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆𝑁) + (1 / 2))))
7271simpld 474 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e))
738, 69, 14ltsubaddd 10661 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆𝑁) − (1 / 2)) < ((!‘𝑁) / e) ↔ (𝑆𝑁) < (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))
7472, 73mpbid 222 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) < (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)))
758, 17, 74ltled 10223 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)))
76 readdcl 10057 . . . . . 6 (((𝑆𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑆𝑁) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
778, 15, 76sylancl 695 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆𝑁) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
7871simprd 478 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) < ((𝑆𝑁) + (1 / 2)))
7914, 77, 69, 78ltadd1dd 10676 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < (((𝑆𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
808recnd 10106 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℂ)
8169recnd 10106 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
8280, 81, 81addassd 10100 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑆𝑁) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
83 ax-1cn 10032 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
84 2halves 11298 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
8583, 84ax-mp 5 . . . . . 6 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
8685oveq2i 6701 . . . . 5 ((𝑆𝑁) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑆𝑁) + 1)
8782, 86syl6eq 2701 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑆𝑁) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑆𝑁) + 1))
8879, 87breqtrd 4711 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆𝑁) + 1))
89 flbi 12657 . . . 4 (((((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑆𝑁) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆𝑁) ↔ ((𝑆𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆𝑁) + 1))))
9017, 7, 89syl2anc 694 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆𝑁) ↔ ((𝑆𝑁) ≤ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) ∧ (((!‘𝑁) / e) + (1 / 2)) < ((𝑆𝑁) + 1))))
9175, 88, 90mpbir2and 977 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))) = (𝑆𝑁))
9291eqcomd 2657 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) = (⌊‘(((!‘𝑁) / e) + (1 / 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  {cab 2637  wne 2823  wral 2941   class class class wbr 4685  cmpt 4762  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ...cfz 12364  cfl 12631  !cfa 13100  #chash 13157  abscabs 14018  eceu 14837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-e 14843
This theorem is referenced by:  derangfmla  31298
  Copyright terms: Public domain W3C validator