MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subeq0ad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subeq0ad 10586
Description: The difference of two complex numbers is zero iff they are equal. Deduction form of subeq0 10491. Generalization of subeq0d 10584. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subeq0ad (𝜑 → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem subeq0ad
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subeq0 10491 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1624  wcel 2131  (class class class)co 6805  cc 10118  0cc0 10120  cmin 10450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-ltxr 10263  df-sub 10452
This theorem is referenced by:  subne0ad  10587  subeq0bd  10640  muleqadd  10855  mulcan1g  10864  ofsubeq0  11201  nn0n0n1ge2  11542  mod0  12861  modirr  12927  addmodlteq  12931  sqreulem  14290  sqreu  14291  tanaddlem  15087  fldivp1  15795  4sqlem11  15853  4sqlem16  15858  znf1o  20094  cphsqrtcl2  23178  rrxmet  23383  dvcobr  23900  dvcnvlem  23930  cmvth  23945  dvlip  23947  lhop1lem  23967  ftc1lem5  23994  aalioulem2  24279  sineq0  24464  tanarg  24556  affineequiv  24744  quad2  24757  dcubic  24764  eqeelen  25975  colinearalg  25981  axcontlem7  26041  ipasslem9  27994  ip2eqi  28013  hi2eq  28263  lnopeqi  29168  riesz3i  29222  signslema  30940  circlemeth  31019  poimirlem32  33746  broucube  33748  rrnmet  33933  eqrabdioph  37835  pellexlem1  37887  sineq0ALT  39664  digexp  42903
  Copyright terms: Public domain W3C validator