MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subeq0 10345
Description: If the difference between two numbers is zero, they are equal. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
subeq0 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem subeq0
StepHypRef Expression
1 subid 10338 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵𝐵) = 0)
21adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝐵) = 0)
32eqeq2d 2661 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = (𝐵𝐵) ↔ (𝐴𝐵) = 0))
4 subcan2 10344 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = (𝐵𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
543anidm23 1425 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = (𝐵𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
63, 5bitr3d 270 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  cmin 10304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306
This theorem is referenced by:  subeq0i  10399  subeq0d  10438  subne0d  10439  subeq0ad  10440  mulcan1g  10718  div2sub  10888  cju  11054  nn0sub  11381  addmodlteq  12785  geoserg  14642  geolim  14645  geolim2  14646  georeclim  14647  geoisum1c  14655  tanadd  14941  fzocongeq  15093  divalglem8  15170  mndodcongi  18008  odf1  18025  odf1o1  18033  cnmet  22622  iccpnfhmeo  22791  plyremlem  24104  geolim3  24139  abelthlem2  24231  abelthlem7  24237  efeq1  24320  tanregt0  24330  logtayl  24451  ang180lem1  24584  ang180lem2  24585  ang180lem3  24586  lawcos  24591  isosctrlem1  24593  isosctrlem2  24594  atandm2  24649  atandm4  24651  2efiatan  24690  tanatan  24691  dvatan  24707  mumullem2  24951  mersenne  24997  dchrsum2  25038  sumdchr2  25040  axcgrid  25841  axcontlem2  25890  hvmulcan2  28058  poimirlem13  33552  rencldnfilem  37701  qirropth  37790  dvconstbi  38850  isosctrlem1ALT  39484
  Copyright terms: Public domain W3C validator