MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdird Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subdird 10679
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subdird (𝜑 → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdird
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 mulnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subdid.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subdir 10656 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1477 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  (class class class)co 6813  cc 10126   · cmul 10133  cmin 10458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271  df-sub 10460
This theorem is referenced by:  subdir2d  10680  mulsubfacd  10684  ltmul1a  11064  xp1d2m1eqxm1d2  11478  div4p1lem1div2  11479  lincmb01cmp  12508  iccf1o  12509  modmul1  12917  remullem  14067  mulcn2  14525  fsumparts  14737  geo2sum  14803  fallfacfwd  14966  bpoly4  14989  modprm0  15712  mul4sqlem  15859  vdwapun  15880  icopnfcnv  22942  itgconst  23784  itgmulc2lem2  23798  dvmulbr  23901  dvrec  23917  dvsincos  23943  cmvth  23953  dvcvx  23982  dvfsumlem1  23988  dvfsumlem2  23989  coeeulem  24179  abelthlem6  24389  tangtx  24456  tanarg  24564  logdivlti  24565  logcnlem4  24590  affineequiv  24752  affineequiv2  24753  chordthmlem2  24759  chordthmlem4  24761  mcubic  24773  dquartlem2  24778  quart1lem  24781  quart1  24782  quartlem1  24783  dvatan  24861  atantayl  24863  lgamcvg2  24980  wilthlem2  24994  logfaclbnd  25146  logexprlim  25149  perfectlem2  25154  dchrsum2  25192  sumdchr2  25194  bposlem9  25216  lgsquadlem1  25304  chebbnd1lem3  25359  rpvmasumlem  25375  log2sumbnd  25432  chpdifbndlem1  25441  selberg3lem1  25445  selberg4lem1  25448  selbergr  25456  selberg3r  25457  selberg4r  25458  pntrlog2bndlem3  25467  pntrlog2bndlem5  25469  pntibndlem2  25479  pntlemo  25495  ttgcontlem1  25964  brbtwn2  25984  colinearalglem1  25985  axsegconlem9  26004  axcontlem2  26044  axcontlem7  26049  axcontlem8  26050  2sqmod  29957  sinccvglem  31873  bj-bary1lem  33471  bj-bary1lem1  33472  itgmulc2nclem2  33790  bfp  33936  pellexlem6  37900  congmul  38036  areaquad  38304  itgsinexp  40673  stoweidlem13  40733  stoweidlem14  40734  stoweidlem26  40746  fourierdlem6  40833  fourierdlem26  40853  fourierdlem42  40869  fourierdlem65  40891  fourierdlem95  40921  smfmullem1  41504  sigarmf  41549  cevathlem2  41563  pwdif  42011  perfectALTVlem2  42141  joinlmulsubmuld  43033
  Copyright terms: Public domain W3C validator