MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subdid 10678
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subdid.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subdid (𝜑 → (𝐴 · (𝐵𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem subdid
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 mulnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subdid.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subdi 10655 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1477 1 (𝜑 → (𝐴 · (𝐵𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  (class class class)co 6813  cc 10126   · cmul 10133  cmin 10458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271  df-sub 10460
This theorem is referenced by:  muls1d  10683  recextlem1  10849  cru  11204  cju  11208  zneo  11652  qbtwnre  12223  lincmb01cmp  12508  iccf1o  12509  intfracq  12852  modlt  12873  moddi  12932  modsubdir  12933  subsq  13166  expmulnbnd  13190  crre  14053  remullem  14067  mulcn2  14525  iseraltlem3  14613  fsumparts  14737  geoserg  14797  mertens  14817  bpolydiflem  14984  bpoly4  14989  fsumcube  14990  tanval3  15063  tanadd  15096  eirrlem  15131  3dvdsOLD  15255  bezoutlem3  15460  cncongr1  15583  eulerthlem2  15689  prmdiv  15692  prmdiveq  15693  4sqlem10  15853  mul4sqlem  15859  4sqlem17  15867  blcvx  22802  icopnfhmeo  22943  pcoass  23024  pjthlem1  23408  itgmulc2lem2  23798  dvmulbr  23901  cmvth  23953  dvcvx  23982  dvfsumle  23983  dvfsumabs  23985  dvfsumlem2  23989  aaliou3lem8  24299  abelthlem2  24385  tangtx  24456  tanregt0  24484  efif1olem2  24488  efif1olem4  24490  ang180lem5  24742  isosctrlem2  24748  isosctrlem3  24749  affineequiv  24752  heron  24764  dcubic1  24771  dquart  24779  quartlem1  24783  asinsin  24818  efiatan  24838  atanlogsublem  24841  efiatan2  24843  2efiatan  24844  tanatan  24845  atantayl2  24864  lgamgulmlem2  24955  lgamgulmlem3  24956  wilthlem2  24994  ftalem5  25002  basellem3  25008  basellem5  25010  logfaclbnd  25146  bposlem1  25208  lgseisenlem2  25300  lgsquadlem1  25304  2sqlem4  25345  vmadivsum  25370  rplogsumlem1  25372  dchrmusum2  25382  dchrvmasumiflem2  25390  rpvmasum2  25400  dchrisum0lem2a  25405  dchrisum0lem2  25406  rplogsum  25415  mulogsumlem  25419  mulogsum  25420  mulog2sumlem1  25422  mulog2sumlem2  25423  mulog2sumlem3  25424  vmalogdivsum2  25426  vmalogdivsum  25427  2vmadivsumlem  25428  logsqvma  25430  selberglem1  25433  selberglem2  25434  selberg2lem  25438  chpdifbndlem1  25441  selberg3lem1  25445  selberg4lem1  25448  selberg4  25449  pntrsumo1  25453  selbergr  25456  selberg3r  25457  selberg4r  25458  selberg34r  25459  pntrlog2bndlem4  25468  pntrlog2bndlem5  25469  pntrlog2bndlem6  25471  pntlemo  25495  ttgcontlem1  25964  brbtwn2  25984  colinearalglem1  25985  axcontlem8  26050  pjhthlem1  28559  2sqmod  29957  knoppndvlem11  32819  knoppndvlem14  32822  knoppndvlem15  32823  knoppndvlem16  32824  bj-bary1lem  33471  bj-bary1lem1  33472  itgmulc2nclem2  33790  areacirclem1  33813  areacirclem4  33816  areacirc  33818  cntotbnd  33908  irrapxlem2  37889  irrapxlem3  37890  irrapxlem5  37892  pellexlem6  37900  pell1qrgaplem  37939  qirropth  37975  jm2.17a  38029  congmul  38036  jm2.18  38057  areaquad  38304  itgsinexp  40673  stoweidlem26  40746  stirlinglem7  40800  fourierdlem83  40909  etransclem46  41000  smfmullem1  41504  fmtnorec3  41970  fmtnorec4  41971
  Copyright terms: Public domain W3C validator