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Theorem subcos 15111
Description: Difference of cosines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
subcos ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐵) − (cos‘𝐴)) = (2 · ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))

Proof of Theorem subcos
StepHypRef Expression
1 halfaddsubcl 11471 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ))
2 sincl 15062 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
3 sincl 15062 . . . . 5 (((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ → (sin‘((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
4 mulcl 10226 . . . . 5 (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ ∧ (sin‘((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
52, 3, 4syl2an 583 . . . 4 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
61, 5syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
762timesd 11482 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
8 cossub 15105 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
9 cosadd 15101 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) = (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
108, 9oveq12d 6814 . . . 4 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) − (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))) = ((((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))) − (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))))))
111, 10syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) − (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))) = ((((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))) − (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))))))
12 coscl 15063 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ → (cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
13 coscl 15063 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ → (cos‘((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
14 mulcl 10226 . . . . . 6 (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ ∧ (cos‘((𝐴𝐵) / 2)) ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
1512, 13, 14syl2an 583 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐵) / 2) ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
161, 15syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) ∈ ℂ)
1716, 6, 6pnncand 10637 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))) − (((cos‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (cos‘((𝐴𝐵) / 2))) − ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
1811, 17eqtrd 2805 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) − (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))) = (((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2))) + ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
19 halfaddsub 11472 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴 ∧ (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵))
2019simprd 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐵)
2120fveq2d 6337 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) = (cos‘𝐵))
2219simpld 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)) = 𝐴)
2322fveq2d 6337 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2))) = (cos‘𝐴))
2421, 23oveq12d 6814 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) − ((𝐴𝐵) / 2))) − (cos‘(((𝐴 + 𝐵) / 2) + ((𝐴𝐵) / 2)))) = ((cos‘𝐵) − (cos‘𝐴)))
257, 18, 243eqtr2rd 2812 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐵) − (cos‘𝐴)) = (2 · ((sin‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) · (sin‘((𝐴𝐵) / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140   + caddc 10145   · cmul 10147  cmin 10472   / cdiv 10890  2c2 11276  sincsin 15000  cosccos 15001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007
This theorem is referenced by:  cosordlem  24498
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