Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subcmn 18182
 Description: A submonoid of a commutative monoid is also commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgabl.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
subcmn ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)

Proof of Theorem subcmn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2622 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻))
2 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g𝐻) = (0g𝐻)
42, 3mndidcl 17248 . . . . . 6 (𝐻 ∈ Mnd → (0g𝐻) ∈ (Base‘𝐻))
5 n0i 3902 . . . . . 6 ((0g𝐻) ∈ (Base‘𝐻) → ¬ (Base‘𝐻) = ∅)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝐻 ∈ Mnd → ¬ (Base‘𝐻) = ∅)
7 subgabl.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
8 reldmress 15866 . . . . . . . . 9 Rel dom ↾s
98ovprc2 6650 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ V → (𝐺s 𝑆) = ∅)
107, 9syl5eq 2667 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V → 𝐻 = ∅)
1110fveq2d 6162 . . . . . 6 𝑆 ∈ V → (Base‘𝐻) = (Base‘∅))
12 base0 15852 . . . . . 6 ∅ = (Base‘∅)
1311, 12syl6eqr 2673 . . . . 5 𝑆 ∈ V → (Base‘𝐻) = ∅)
146, 13nsyl2 142 . . . 4 (𝐻 ∈ Mnd → 𝑆 ∈ V)
1514adantl 482 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝑆 ∈ V)
16 eqid 2621 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
177, 16ressplusg 15933 . . 3 (𝑆 ∈ V → (+g𝐺) = (+g𝐻))
1815, 17syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
19 simpr 477 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ Mnd)
20 simpl 473 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐺 ∈ CMnd)
21 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
227, 21ressbasss 15872 . . . 4 (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺)
2322sseli 3584 . . 3 (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
2422sseli 3584 . . 3 (𝑦 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
2521, 16cmncom 18149 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
2620, 23, 24, 25syl3an 1365 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
271, 18, 19, 26iscmnd 18145 1 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3190  ∅c0 3897  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800   ↾s cress 15801  +gcplusg 15881  0gc0g 16040  Mndcmnd 17234  CMndccmn 18133 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-cmn 18135 This theorem is referenced by:  submcmn  18183  unitabl  18608  subrgcrng  18724  xrge0cmn  19728  tsmssubm  21886  amgmlem  24650  amgmwlem  41881  amgmlemALT  41882
 Copyright terms: Public domain W3C validator