MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subcl 10318
Description: Closure law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
subcl ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem subcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subval 10310 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) = (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴))
2 negeu 10309 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
32ancoms 468 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴)
4 riotacl 6665 . . 3 (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ (𝐵 + 𝑥) = 𝐴) ∈ ℂ)
61, 5eqeltrd 2730 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  ∃!wreu 2943  crio 6650  (class class class)co 6690  cc 9972   + caddc 9977  cmin 10304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306
This theorem is referenced by:  negcl  10319  subf  10321  pncan3  10327  npcan  10328  addsubass  10329  addsub  10330  addsub12  10332  addsubeq4  10334  npncan  10340  nppcan  10341  nnpcan  10342  nppcan3  10343  subcan2  10344  subsub2  10347  subsub4  10352  nnncan  10354  nnncan1  10355  nnncan2  10356  npncan3  10357  addsub4  10362  subadd4  10363  peano2cnm  10385  subcli  10395  subcld  10430  subeqrev  10491  subdi  10501  subdir  10502  mulsub2  10512  recextlem1  10695  recex  10697  mulcan1g  10718  div2sub  10888  cju  11054  halfaddsubcl  11302  halfaddsub  11303  iccf1o  12354  modsumfzodifsn  12783  sersub  12884  sqsubswap  12964  subsq  13012  subsq2  13013  bcn2  13146  swrdccatin12lem2b  13532  swrdccatin12lem2  13535  shftval2  13859  2shfti  13864  sqabssub  14067  abssub  14110  abs3dif  14115  abs2dif  14116  abs2difabs  14118  climuni  14327  cjcn2  14374  recn2  14375  imcn2  14376  o1sub  14390  climsub  14408  caucvgr  14450  iseralt  14459  fsum0diag2  14559  arisum2  14637  geoserg  14642  geolim  14645  geolim2  14646  georeclim  14647  geo2sum  14648  geoisum1c  14655  fallfacval2  14786  fallfacval3  14787  fallfaccl  14791  risefallfac  14799  fallfacp1  14805  0fallfac  14812  binomfallfaclem2  14815  bpoly2  14832  bpoly3  14833  fsumcube  14835  tanadd  14941  addsin  14944  fzocongeq  15093  odd2np1  15112  divalglem9  15171  phiprm  15529  pythagtriplem4  15571  pythagtriplem12  15578  pythagtriplem14  15580  pythagtriplem16  15582  fldivp1  15648  4sqlem19  15714  vdwapun  15725  vdwlem6  15737  xrsdsreclb  19841  cnmet  22622  icccvx  22796  reparphti  22843  pcorevlem  22872  cncmet  23165  dveflem  23787  dvef  23788  dv11cn  23809  coeeulem  24025  geolim3  24139  abelthlem2  24231  abelthlem7  24237  efimpi  24288  ptolemy  24293  tangtx  24302  abssinper  24315  cosne0  24321  tanregt0  24330  eflogeq  24393  logneg2  24406  advlogexp  24446  logtayl  24451  logtayl2  24453  ang180lem1  24584  ang180lem2  24585  ang180lem3  24586  lawcos  24591  pythag  24592  isosctrlem1  24593  isosctrlem2  24594  asinlem  24640  asinlem2  24641  asinlem3a  24642  asinlem3  24643  asinf  24644  acosf  24646  atanf  24652  asinneg  24658  efiasin  24660  sinasin  24661  asinsin  24664  acoscos  24665  asinbnd  24671  cosasin  24676  atanneg  24679  atancj  24682  efiatan  24684  atanlogaddlem  24685  atanlogadd  24686  atanlogsublem  24687  atanlogsub  24688  efiatan2  24689  2efiatan  24690  cosatan  24693  atantan  24695  atanbndlem  24697  atans2  24703  dvatan  24707  atantayl  24709  atantayl2  24710  birthdaylem2  24724  scvxcvx  24757  basellem8  24859  1sgm2ppw  24970  logfacbnd3  24993  logfacrlim  24994  perfect1  24998  dchrsum2  25038  sumdchr2  25040  bposlem9  25062  lgsquad2  25156  rplogsumlem1  25218  dchrmusum2  25228  log2sumbnd  25278  pntrsumo1  25299  brbtwn2  25830  colinearalg  25835  axcgrid  25841  axsegconlem1  25842  ax5seglem1  25853  ax5seglem2  25854  ax5seglem3  25856  ax5seglem5  25858  ax5seglem9  25862  axbtwnid  25864  axeuclidlem  25887  axcontlem2  25890  axcontlem4  25892  axcontlem7  25895  axcontlem8  25896  crctcshwlkn0lem6  26763  eucrctshift  27221  hvmulcan2  28058  subfacp1lem6  31293  cvxsconn  31351  resconn  31354  sinccvglem  31692  sin2h  33529  tan2h  33531  itg2addnclem3  33593  ftc1anclem4  33618  ftc1anclem5  33619  ftc1anclem6  33620  ftc1anclem7  33621  ftc1anc  33623  dvasin  33626  dvacos  33627  rmspecsqrtnq  37787  rmspecsqrtnqOLD  37788  jm2.17a  37844  acongeq  37867  jm2.27c  37891  lhe4.4ex1a  38845  dvconstbi  38850  abssubrp  39801  cnambpcma  41634  pfxccatin12lem1  41748  pfxccatin12lem2  41749
  Copyright terms: Public domain W3C validator