Theorem subcid 16713

Description: The identity in a subcategory is the same as the original category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subccat.1	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
subccat.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subccatid.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
subccatid.2	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
subcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ((Id‘𝐷)‘𝑋))

Proof of Theorem subcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subccat.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		subccat.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
3		subccatid.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
4		subccatid.2	. . . . 5 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
5	1, 2, 3, 4	subccatid 16712	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥))))
6	5	simprd 477	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥)))
7		simpr 471	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
8	7	fveq2d 6336	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ( 1 ‘𝑥) = ( 1 ‘𝑋))
9		subcid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
10		fvexd 6344	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) ∈ V)
11	6, 8, 9, 10	fvmptd 6430	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑋) = ( 1 ‘𝑋))
12	11	eqcomd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ((Id‘𝐷)‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  Vcvv 3349   ↦ cmpt 4861   × cxp 5247   Fn wfn 6026  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  Catccat 16531  Idccid 16532   ↾_cat cresc 16674  Subcatcsubc 16675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-hom 16173  df-cco 16174  df-cat 16535  df-cid 16536  df-homf 16537  df-ssc 16676  df-resc 16677  df-subc 16678

This theorem is referenced by:  subsubc  16719  funcres  16762  funcres2b  16763  rngcid  42497  ringcid  42543