MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structvtxval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem structvtxval 26130
Description: The set of vertices of an extensible structure with a base set and another slot. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
structvtxvallem.s 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
Assertion
Ref Expression
structvtxval ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Proof of Theorem structvtxval
StepHypRef Expression
1 structvtxvallem.g . . . 4 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
2 structvtxvallem.b . . . 4 (Base‘ndx) < 𝑆
3 structvtxvallem.s . . . 4 𝑆 ∈ ℕ
41, 2, 32strstr1 16193 . . 3 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆
54a1i 11 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩)
63, 2, 1structvtxvallem 26129 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
7 simpl 468 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 𝑉𝑋)
8 opex 5060 . . . . 5 ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V
98prid1 4431 . . . 4 ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
109, 1eleqtrri 2848 . . 3 ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺
1110a1i 11 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)
125, 6, 7, 11basvtxval 26121 1 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  {cpr 4316  cop 4320   class class class wbr 4784  cfv 6031   < clt 10275  cn 11221   Struct cstr 16059  ndxcnx 16060  Basecbs 16063  Vtxcvtx 26094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-hash 13321  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-vtx 26096
This theorem is referenced by:  struct2grvtx  26139
  Copyright terms: Public domain W3C validator