MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structiedg0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem structiedg0val 26081
Description: The set of indexed edges of an extensible structure with a base set and another slot not being the slot for edge functions is empty. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
structvtxvallem.s 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
Assertion
Ref Expression
structiedg0val ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem structiedg0val
StepHypRef Expression
1 structvtxvallem.g . . . . 5 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
2 structvtxvallem.b . . . . 5 (Base‘ndx) < 𝑆
3 structvtxvallem.s . . . . 5 𝑆 ∈ ℕ
41, 2, 32strstr1 16159 . . . 4 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆
5 structn0fun 16042 . . . . 5 (𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩ → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
63, 2, 1structvtxvallem 26079 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
7 funiedgdmge2val 26062 . . . . 5 ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (♯‘dom 𝐺)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
85, 6, 7syl2an 495 . . . 4 ((𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩ ∧ (𝑉𝑋𝐸𝑌)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
94, 8mpan 708 . . 3 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
1093adant3 1124 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
11 prex 5046 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V
1211a1i 11 . . . . 5 (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V)
131, 12syl5eqel 2831 . . . 4 (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} → 𝐺 ∈ V)
14 edgfndxid 26041 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx)))
151, 13, 14mp2b 10 . . 3 (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx))
16 slotsbaseefdif 26043 . . . . . . . . 9 (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
1716nesymi 2977 . . . . . . . 8 ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx)
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
19 neneq 2926 . . . . . . . . 9 (𝑆 ≠ (.ef‘ndx) → ¬ 𝑆 = (.ef‘ndx))
20 eqcom 2755 . . . . . . . . 9 ((.ef‘ndx) = 𝑆𝑆 = (.ef‘ndx))
2119, 20sylnibr 318 . . . . . . . 8 (𝑆 ≠ (.ef‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆)
22213ad2ant3 1127 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆)
23 ioran 512 . . . . . . 7 (¬ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆) ↔ (¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆))
2418, 22, 23sylanbrc 701 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆))
25 fvex 6350 . . . . . . 7 (.ef‘ndx) ∈ V
2625elpr 4331 . . . . . 6 ((.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), 𝑆} ↔ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆))
2724, 26sylnibr 318 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), 𝑆})
281dmeqi 5468 . . . . . 6 dom 𝐺 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
29 dmpropg 5755 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
30293adant3 1124 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
3128, 30syl5eq 2794 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → dom 𝐺 = {(Base‘ndx), 𝑆})
3227, 31neleqtrrd 2849 . . . 4 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺)
33 ndmfv 6367 . . . 4 (¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺 → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
3432, 33syl 17 . . 3 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
3515, 34syl5eq 2794 . 2 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (.ef‘𝐺) = ∅)
3610, 35eqtrd 2782 1 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  Vcvv 3328  cdif 3700  c0 4046  {csn 4309  {cpr 4311  cop 4315   class class class wbr 4792  dom cdm 5254  Fun wfun 6031  cfv 6037   < clt 10237  cle 10238  cn 11183  2c2 11233  chash 13282   Struct cstr 16026  ndxcnx 16027  Basecbs 16030  .efcedgf 26037  iEdgciedg 26045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-xnn0 11527  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-fz 12491  df-hash 13283  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-edgf 26038  df-iedg 26047
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator