Theorem structgrssvtxlemOLD 26136

Description: Obsolete version of structgrssvtxlem 26133 as of 14-Nov-2021. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
structgrssvtxOLD.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
structgrssvtxOLD.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
structgrssvtxOLD.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
structgrssvtxOLD.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
structgrssvtxOLD.s	⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
structgrssvtxlemOLD	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))

Proof of Theorem structgrssvtxlemOLD

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structgrssvtxOLD.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
2		dmexg 7264	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → dom 𝐺 ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ V)
4		structgrssvtxOLD.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
5		structgrssvtxOLD.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑍)
6		dmpropg 5768	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑌 ∧ 𝐸 ∈ 𝑍) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)})
7	4, 5, 6	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)})
8		structgrssvtxOLD.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺)
9		dmss 5479	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ 𝐺 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ dom 𝐺)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ⊆ dom 𝐺)
11	7, 10	eqsstr3d 3782	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom 𝐺)
12		fvex 6364	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
13		fvex 6364	. . . . 5 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ V
14	12, 13	prss 4497	. . . 4 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺) ↔ {(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom 𝐺)
15		slotsbaseefdif 26094	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
16		neeq1 2995	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (Base‘ndx) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (Base‘ndx) ≠ 𝑏))
17		neeq2 2996	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (.ef‘ndx) → ((Base‘ndx) ≠ 𝑏 ↔ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)))
18	16, 17	rspc2ev 3464	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏)
19	15, 18	mp3an3 1562	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏)
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((Base‘ndx) ∈ dom 𝐺 ∧ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏))
21	14, 20	syl5bir 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({(Base‘ndx), (.ef‘ndx)} ⊆ dom 𝐺 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏))
22	11, 21	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏)
23		hashge2el2difr 13476	. 2 ⊢ ((dom 𝐺 ∈ V ∧ ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏) → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))
24	3, 22, 23	syl2anc 696	1 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘dom 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ≠ wne 2933  ∃wrex 3052  Vcvv 3341   ⊆ wss 3716  {cpr 4324  ⟨cop 4328   class class class wbr 4805  dom cdm 5267  Fun wfun 6044  ‘cfv 6050   ≤ cle 10288  2c2 11283  ♯chash 13332  ndxcnx 16077  Basecbs 16080  .efcedgf 26088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-xnn0 11577  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-hash 13333  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-edgf 26089

This theorem is referenced by:  structgrssvtxOLD  26137  structgrssiedgOLD  26138