Theorem structcnvcnv 15918

Description: Two ways to express the relational part of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
structcnvcnv	⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → ◡◡𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))

Proof of Theorem structcnvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 5177	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
2		cnvcnv 5621	. . . . . . . 8 ⊢ ◡◡𝐹 = (𝐹 ∩ (V × V))
3		inss2 3867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∩ (V × V)) ⊆ (V × V)
4	2, 3	eqsstri 3668	. . . . . . 7 ⊢ ◡◡𝐹 ⊆ (V × V)
5	4	sseli 3632	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ ◡◡𝐹 → ∅ ∈ (V × V))
6	1, 5	mto 188	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅ ∈ ◡◡𝐹
7		disjsn 4278	. . . . 5 ⊢ ((◡◡𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ◡◡𝐹)
8	6, 7	mpbir 221	. . . 4 ⊢ (◡◡𝐹 ∩ {∅}) = ∅
9		cnvcnvss 5624	. . . . 5 ⊢ ◡◡𝐹 ⊆ 𝐹
10		reldisj 4053	. . . . 5 ⊢ (◡◡𝐹 ⊆ 𝐹 → ((◡◡𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ◡◡𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅})))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((◡◡𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ◡◡𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅}))
12	8, 11	mpbi 220	. . 3 ⊢ ◡◡𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅})
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → ◡◡𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅}))
14		structn0fun 15916	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))
15		funrel 5943	. . . . 5 ⊢ (Fun (𝐹 ∖ {∅}) → Rel (𝐹 ∖ {∅}))
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Rel (𝐹 ∖ {∅}))
17		dfrel2 5618	. . . 4 ⊢ (Rel (𝐹 ∖ {∅}) ↔ ◡◡(𝐹 ∖ {∅}) = (𝐹 ∖ {∅}))
18	16, 17	sylib 208	. . 3 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → ◡◡(𝐹 ∖ {∅}) = (𝐹 ∖ {∅}))
19		difss 3770	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
20		cnvss 5327	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → ◡(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡𝐹)
21		cnvss 5327	. . . 4 ⊢ (◡(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡𝐹 → ◡◡(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡◡𝐹)
22	19, 20, 21	mp2b 10	. . 3 ⊢ ◡◡(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡◡𝐹
23	18, 22	syl6eqssr 3689	. 2 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ ◡◡𝐹)
24	13, 23	eqssd 3653	1 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → ◡◡𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685   × cxp 5141  ^◡ccnv 5142  Rel wrel 5148  Fun wfun 5920   Struct cstr 15900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906

This theorem is referenced by:  structfung  15919  eengbas  25906  ebtwntg  25907  ecgrtg  25908  elntg  25909