Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strlemor3OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strlemor3OLD 16193
 Description: Add three elements to the end of a structure. Obsolete as of 26-Nov-2021. See comment of strlemor0OLD 16190. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
strlemor.f (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
strlemor.i 𝐼 ∈ ℕ0
strlemor.o 𝐼 < 𝐽
strlemor.j 𝐽 ∈ ℕ
strlemor.a 𝐴 = 𝐽
strlemor2.o 𝐽 < 𝐾
strlemor2.k 𝐾 ∈ ℕ
strlemor2.b 𝐵 = 𝐾
strlemor3.o 𝐾 < 𝐿
strlemor3.l 𝐿 ∈ ℕ
strlemor3.c 𝐶 = 𝐿
strlemor3.g 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩})
Assertion
Ref Expression
strlemor3OLD (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐿))

Proof of Theorem strlemor3OLD
StepHypRef Expression
1 strlemor.f . . 3 (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
2 strlemor.i . . 3 𝐼 ∈ ℕ0
3 strlemor.o . . 3 𝐼 < 𝐽
4 strlemor.j . . 3 𝐽 ∈ ℕ
5 strlemor.a . . 3 𝐴 = 𝐽
6 strlemor2.o . . 3 𝐽 < 𝐾
7 strlemor2.k . . 3 𝐾 ∈ ℕ
8 strlemor2.b . . 3 𝐵 = 𝐾
9 eqid 2760 . . 3 (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩})
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9strlemor2OLD 16192 . 2 (Fun (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) ∧ dom (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) ⊆ (1...𝐾))
117nnnn0i 11512 . 2 𝐾 ∈ ℕ0
12 strlemor3.o . 2 𝐾 < 𝐿
13 strlemor3.l . 2 𝐿 ∈ ℕ
14 strlemor3.c . 2 𝐶 = 𝐿
15 df-tp 4326 . . . 4 {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩} = ({⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩})
1615uneq2i 3907 . . 3 (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩}) = (𝐹 ∪ ({⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩}))
17 strlemor3.g . . 3 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩})
18 unass 3913 . . 3 ((𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩}) = (𝐹 ∪ ({⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩}))
1916, 17, 183eqtr4i 2792 . 2 𝐺 = ((𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩})
2010, 11, 12, 13, 14, 19strlemor1OLD 16191 1 (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐿))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ∪ cun 3713   ⊆ wss 3715  {csn 4321  {cpr 4323  {ctp 4325  ⟨cop 4327   class class class wbr 4804  ◡ccnv 5265  dom cdm 5266  Fun wfun 6043  (class class class)co 6814  1c1 10149   < clt 10286  ℕcn 11232  ℕ0cn0 11504  ...cfz 12539 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator