MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strlemor1OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strlemor1OLD 16197
Description: Add one element to the end of a structure. Obsolete as of 26-Nov-2021. See comment of strlemor0OLD 16196. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
strlemor.f (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
strlemor.i 𝐼 ∈ ℕ0
strlemor.o 𝐼 < 𝐽
strlemor.j 𝐽 ∈ ℕ
strlemor.a 𝐴 = 𝐽
strlemor1.g 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩})
Assertion
Ref Expression
strlemor1OLD (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐽))

Proof of Theorem strlemor1OLD
StepHypRef Expression
1 strlemor.f . . . . . 6 (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
21simpli 471 . . . . 5 Fun 𝐹
3 funcnvsn 6090 . . . . 5 Fun {⟨𝑋, 𝐽⟩}
42, 3pm3.2i 457 . . . 4 (Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝐽⟩})
5 cnvcnvss 5741 . . . . . . 7 𝐹𝐹
6 dmss 5473 . . . . . . 7 (𝐹𝐹 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐹)
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 dom 𝐹 ⊆ dom 𝐹
8 cnvcnvsn 5765 . . . . . . . . 9 {⟨𝐽, 𝑋⟩} = {⟨𝑋, 𝐽⟩}
9 cnvcnvss 5741 . . . . . . . . 9 {⟨𝐽, 𝑋⟩} ⊆ {⟨𝐽, 𝑋⟩}
108, 9eqsstr3i 3792 . . . . . . . 8 {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {⟨𝐽, 𝑋⟩}
11 dmss 5473 . . . . . . . 8 ({⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {⟨𝐽, 𝑋⟩} → dom {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩})
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 dom {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩}
13 dmsnopss 5760 . . . . . . 7 dom {⟨𝐽, 𝑋⟩} ⊆ {𝐽}
1412, 13sstri 3767 . . . . . 6 dom {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {𝐽}
15 ss2in 3996 . . . . . 6 ((dom 𝐹 ⊆ dom 𝐹 ∧ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {𝐽}) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) ⊆ (dom 𝐹 ∩ {𝐽}))
167, 14, 15mp2an 673 . . . . 5 (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) ⊆ (dom 𝐹 ∩ {𝐽})
17 strlemor.o . . . . . . . . 9 𝐼 < 𝐽
18 strlemor.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 ∈ ℕ0
1918nn0rei 11527 . . . . . . . . . 10 𝐼 ∈ ℝ
20 strlemor.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 ∈ ℕ
2120nnrei 11252 . . . . . . . . . 10 𝐽 ∈ ℝ
2219, 21ltnlei 10381 . . . . . . . . 9 (𝐼 < 𝐽 ↔ ¬ 𝐽𝐼)
2317, 22mpbi 221 . . . . . . . 8 ¬ 𝐽𝐼
24 elfzle2 12574 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (1...𝐼) → 𝐽𝐼)
2523, 24mto 188 . . . . . . 7 ¬ 𝐽 ∈ (1...𝐼)
261simpri 474 . . . . . . . 8 dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼)
2726sseli 3754 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ dom 𝐹𝐽 ∈ (1...𝐼))
2825, 27mto 188 . . . . . 6 ¬ 𝐽 ∈ dom 𝐹
29 disjsn 4394 . . . . . 6 ((dom 𝐹 ∩ {𝐽}) = ∅ ↔ ¬ 𝐽 ∈ dom 𝐹)
3028, 29mpbir 222 . . . . 5 (dom 𝐹 ∩ {𝐽}) = ∅
31 sseq0 4130 . . . . 5 (((dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) ⊆ (dom 𝐹 ∩ {𝐽}) ∧ (dom 𝐹 ∩ {𝐽}) = ∅) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) = ∅)
3216, 30, 31mp2an 673 . . . 4 (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) = ∅
33 funun 6086 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝐽⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) = ∅) → Fun (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩}))
344, 32, 33mp2an 673 . . 3 Fun (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩})
35 strlemor1.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩})
36 strlemor.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = 𝐽
3736opeq1i 4553 . . . . . . . . . . 11 𝐴, 𝑋⟩ = ⟨𝐽, 𝑋
3837sneqi 4337 . . . . . . . . . 10 {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {⟨𝐽, 𝑋⟩}
3938uneq2i 3922 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩}) = (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
4035, 39eqtri 2796 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
4140cnveqi 5447 . . . . . . 7 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
42 cnvun 5690 . . . . . . 7 (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩})
4341, 42eqtri 2796 . . . . . 6 𝐺 = (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩})
4443cnveqi 5447 . . . . 5 𝐺 = (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩})
45 cnvun 5690 . . . . . 6 (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩})
468uneq2i 3922 . . . . . 6 (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩})
4745, 46eqtri 2796 . . . . 5 (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩})
4844, 47eqtri 2796 . . . 4 𝐺 = (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩})
4948funeqi 6063 . . 3 (Fun 𝐺 ↔ Fun (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩}))
5034, 49mpbir 222 . 2 Fun 𝐺
5140dmeqi 5475 . . . 4 dom 𝐺 = dom (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
52 dmun 5481 . . . 4 dom (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (dom 𝐹 ∪ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩})
5351, 52eqtri 2796 . . 3 dom 𝐺 = (dom 𝐹 ∪ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩})
5418nn0zi 11626 . . . . . . 7 𝐼 ∈ ℤ
5520nnzi 11625 . . . . . . 7 𝐽 ∈ ℤ
5619, 21, 17ltleii 10383 . . . . . . 7 𝐼𝐽
57 eluz2 11916 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (ℤ𝐼) ↔ (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼𝐽))
5854, 55, 56, 57mpbir3an 1432 . . . . . 6 𝐽 ∈ (ℤ𝐼)
59 fzss2 12610 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (ℤ𝐼) → (1...𝐼) ⊆ (1...𝐽))
6058, 59ax-mp 5 . . . . 5 (1...𝐼) ⊆ (1...𝐽)
6126, 60sstri 3767 . . . 4 dom 𝐹 ⊆ (1...𝐽)
62 elfz1end 12600 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℕ ↔ 𝐽 ∈ (1...𝐽))
6320, 62mpbi 221 . . . . . 6 𝐽 ∈ (1...𝐽)
64 snssi 4485 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (1...𝐽) → {𝐽} ⊆ (1...𝐽))
6563, 64ax-mp 5 . . . . 5 {𝐽} ⊆ (1...𝐽)
6613, 65sstri 3767 . . . 4 dom {⟨𝐽, 𝑋⟩} ⊆ (1...𝐽)
6761, 66unssi 3946 . . 3 (dom 𝐹 ∪ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩}) ⊆ (1...𝐽)
6853, 67eqsstri 3791 . 2 dom 𝐺 ⊆ (1...𝐽)
6950, 68pm3.2i 457 1 (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383   = wceq 1634  wcel 2148  cun 3727  cin 3728  wss 3729  c0 4073  {csn 4326  cop 4332   class class class wbr 4797  ccnv 5262  dom cdm 5263  Fun wfun 6036  cfv 6042  (class class class)co 6812  1c1 10160   < clt 10297  cle 10298  cn 11243  0cn0 11516  cz 11601  cuz 11910  ...cfz 12555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-er 7917  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-nn 11244  df-n0 11517  df-z 11602  df-uz 11911  df-fz 12556
This theorem is referenced by:  strlemor2OLD  16198  strlemor3OLD  16199
  Copyright terms: Public domain W3C validator