MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strlemor1OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strlemor1OLD 16016
Description: Add one element to the end of a structure. Obsolete as of 26-Nov-2021. See comment of strlemor0OLD 16015. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
strlemor.f (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
strlemor.i 𝐼 ∈ ℕ0
strlemor.o 𝐼 < 𝐽
strlemor.j 𝐽 ∈ ℕ
strlemor.a 𝐴 = 𝐽
strlemor1.g 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩})
Assertion
Ref Expression
strlemor1OLD (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐽))

Proof of Theorem strlemor1OLD
StepHypRef Expression
1 strlemor.f . . . . . 6 (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
21simpli 473 . . . . 5 Fun 𝐹
3 funcnvsn 5974 . . . . 5 Fun {⟨𝑋, 𝐽⟩}
42, 3pm3.2i 470 . . . 4 (Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝐽⟩})
5 cnvcnvss 5624 . . . . . . 7 𝐹𝐹
6 dmss 5355 . . . . . . 7 (𝐹𝐹 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐹)
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 dom 𝐹 ⊆ dom 𝐹
8 cnvcnvsn 5648 . . . . . . . . 9 {⟨𝐽, 𝑋⟩} = {⟨𝑋, 𝐽⟩}
9 cnvcnvss 5624 . . . . . . . . 9 {⟨𝐽, 𝑋⟩} ⊆ {⟨𝐽, 𝑋⟩}
108, 9eqsstr3i 3669 . . . . . . . 8 {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {⟨𝐽, 𝑋⟩}
11 dmss 5355 . . . . . . . 8 ({⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {⟨𝐽, 𝑋⟩} → dom {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩})
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 dom {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩}
13 dmsnopss 5643 . . . . . . 7 dom {⟨𝐽, 𝑋⟩} ⊆ {𝐽}
1412, 13sstri 3645 . . . . . 6 dom {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {𝐽}
15 ss2in 3873 . . . . . 6 ((dom 𝐹 ⊆ dom 𝐹 ∧ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {𝐽}) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) ⊆ (dom 𝐹 ∩ {𝐽}))
167, 14, 15mp2an 708 . . . . 5 (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) ⊆ (dom 𝐹 ∩ {𝐽})
17 strlemor.o . . . . . . . . 9 𝐼 < 𝐽
18 strlemor.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 ∈ ℕ0
1918nn0rei 11341 . . . . . . . . . 10 𝐼 ∈ ℝ
20 strlemor.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 ∈ ℕ
2120nnrei 11067 . . . . . . . . . 10 𝐽 ∈ ℝ
2219, 21ltnlei 10196 . . . . . . . . 9 (𝐼 < 𝐽 ↔ ¬ 𝐽𝐼)
2317, 22mpbi 220 . . . . . . . 8 ¬ 𝐽𝐼
24 elfzle2 12383 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (1...𝐼) → 𝐽𝐼)
2523, 24mto 188 . . . . . . 7 ¬ 𝐽 ∈ (1...𝐼)
261simpri 477 . . . . . . . 8 dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼)
2726sseli 3632 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ dom 𝐹𝐽 ∈ (1...𝐼))
2825, 27mto 188 . . . . . 6 ¬ 𝐽 ∈ dom 𝐹
29 disjsn 4278 . . . . . 6 ((dom 𝐹 ∩ {𝐽}) = ∅ ↔ ¬ 𝐽 ∈ dom 𝐹)
3028, 29mpbir 221 . . . . 5 (dom 𝐹 ∩ {𝐽}) = ∅
31 sseq0 4008 . . . . 5 (((dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) ⊆ (dom 𝐹 ∩ {𝐽}) ∧ (dom 𝐹 ∩ {𝐽}) = ∅) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) = ∅)
3216, 30, 31mp2an 708 . . . 4 (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) = ∅
33 funun 5970 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝐽⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) = ∅) → Fun (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩}))
344, 32, 33mp2an 708 . . 3 Fun (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩})
35 strlemor1.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩})
36 strlemor.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = 𝐽
3736opeq1i 4436 . . . . . . . . . . 11 𝐴, 𝑋⟩ = ⟨𝐽, 𝑋
3837sneqi 4221 . . . . . . . . . 10 {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {⟨𝐽, 𝑋⟩}
3938uneq2i 3797 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩}) = (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
4035, 39eqtri 2673 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
4140cnveqi 5329 . . . . . . 7 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
42 cnvun 5573 . . . . . . 7 (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩})
4341, 42eqtri 2673 . . . . . 6 𝐺 = (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩})
4443cnveqi 5329 . . . . 5 𝐺 = (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩})
45 cnvun 5573 . . . . . 6 (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩})
468uneq2i 3797 . . . . . 6 (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩})
4745, 46eqtri 2673 . . . . 5 (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩})
4844, 47eqtri 2673 . . . 4 𝐺 = (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩})
4948funeqi 5947 . . 3 (Fun 𝐺 ↔ Fun (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩}))
5034, 49mpbir 221 . 2 Fun 𝐺
5140dmeqi 5357 . . . 4 dom 𝐺 = dom (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
52 dmun 5363 . . . 4 dom (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (dom 𝐹 ∪ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩})
5351, 52eqtri 2673 . . 3 dom 𝐺 = (dom 𝐹 ∪ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩})
5418nn0zi 11440 . . . . . . 7 𝐼 ∈ ℤ
5520nnzi 11439 . . . . . . 7 𝐽 ∈ ℤ
5619, 21, 17ltleii 10198 . . . . . . 7 𝐼𝐽
57 eluz2 11731 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (ℤ𝐼) ↔ (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼𝐽))
5854, 55, 56, 57mpbir3an 1263 . . . . . 6 𝐽 ∈ (ℤ𝐼)
59 fzss2 12419 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (ℤ𝐼) → (1...𝐼) ⊆ (1...𝐽))
6058, 59ax-mp 5 . . . . 5 (1...𝐼) ⊆ (1...𝐽)
6126, 60sstri 3645 . . . 4 dom 𝐹 ⊆ (1...𝐽)
62 elfz1end 12409 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℕ ↔ 𝐽 ∈ (1...𝐽))
6320, 62mpbi 220 . . . . . 6 𝐽 ∈ (1...𝐽)
64 snssi 4371 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (1...𝐽) → {𝐽} ⊆ (1...𝐽))
6563, 64ax-mp 5 . . . . 5 {𝐽} ⊆ (1...𝐽)
6613, 65sstri 3645 . . . 4 dom {⟨𝐽, 𝑋⟩} ⊆ (1...𝐽)
6761, 66unssi 3821 . . 3 (dom 𝐹 ∪ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩}) ⊆ (1...𝐽)
6853, 67eqsstri 3668 . 2 dom 𝐺 ⊆ (1...𝐽)
6950, 68pm3.2i 470 1 (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  cop 4216   class class class wbr 4685  ccnv 5142  dom cdm 5143  Fun wfun 5920  cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365
This theorem is referenced by:  strlemor2OLD  16017  strlemor3OLD  16018
  Copyright terms: Public domain W3C validator