HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  strlem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strlem3a 29451
Description: Lemma for strong state theorem: the function 𝑆, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. (Contributed by NM, 28-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
strlem3a.1 𝑆 = (𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))
Assertion
Ref Expression
strlem3a ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ States)
Distinct variable group:   𝑥,𝑢
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑢)

Proof of Theorem strlem3a
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . 7 (𝑥C𝑥C )
2 simpl 468 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑢 ∈ ℋ)
3 pjhcl 28600 . . . . . . 7 ((𝑥C𝑢 ∈ ℋ) → ((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
41, 2, 3syl2anr 584 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → ((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ)
5 normcl 28322 . . . . . 6 (((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . 5 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ)
76resqcld 13242 . . . 4 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ ℝ)
86sqge0d 13243 . . . 4 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → 0 ≤ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))
9 normge0 28323 . . . . . 6 (((proj𝑥)‘𝑢) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)))
104, 9syl 17 . . . . 5 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → 0 ≤ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)))
11 pjnorm 28923 . . . . . . 7 ((𝑥C𝑢 ∈ ℋ) → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ (norm𝑢))
121, 2, 11syl2anr 584 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ (norm𝑢))
13 simplr 752 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → (norm𝑢) = 1)
1412, 13breqtrd 4812 . . . . 5 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ 1)
15 2nn0 11511 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
16 exple1 13127 . . . . . 6 ((((norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∧ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ 1) ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
1715, 16mpan2 671 . . . . 5 (((norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ∧ (norm‘((proj𝑥)‘𝑢)) ≤ 1) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
186, 10, 14, 17syl3anc 1476 . . . 4 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1)
19 0re 10242 . . . . 5 0 ∈ ℝ
20 1re 10241 . . . . 5 1 ∈ ℝ
2119, 20elicc2i 12444 . . . 4 (((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ (0[,]1) ↔ (((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∧ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ≤ 1))
227, 8, 18, 21syl3anbrc 1428 . . 3 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) ∧ 𝑥C ) → ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2) ∈ (0[,]1))
23 strlem3a.1 . . 3 𝑆 = (𝑥C ↦ ((norm‘((proj𝑥)‘𝑢))↑2))
2422, 23fmptd 6527 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑆: C ⟶(0[,]1))
25 helch 28440 . . . 4 ℋ ∈ C
2623strlem2 29450 . . . 4 ( ℋ ∈ C → (𝑆‘ ℋ) = ((norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢))↑2))
2725, 26ax-mp 5 . . 3 (𝑆‘ ℋ) = ((norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢))↑2)
28 pjch1 28869 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ℋ → ((proj‘ ℋ)‘𝑢) = 𝑢)
2928fveq2d 6336 . . . . 5 (𝑢 ∈ ℋ → (norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢)) = (norm𝑢))
3029oveq1d 6808 . . . 4 (𝑢 ∈ ℋ → ((norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢))↑2) = ((norm𝑢)↑2))
31 oveq1 6800 . . . . 5 ((norm𝑢) = 1 → ((norm𝑢)↑2) = (1↑2))
32 sq1 13165 . . . . 5 (1↑2) = 1
3331, 32syl6eq 2821 . . . 4 ((norm𝑢) = 1 → ((norm𝑢)↑2) = 1)
3430, 33sylan9eq 2825 . . 3 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → ((norm‘((proj‘ ℋ)‘𝑢))↑2) = 1)
3527, 34syl5eq 2817 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑆‘ ℋ) = 1)
36 pjcjt2 28891 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢) = (((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢))))
3736imp 393 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢) = (((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))
3837fveq2d 6336 . . . . . . . . . 10 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢)) = (norm‘(((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢))))
3938oveq1d 6808 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))↑2) = ((norm‘(((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))↑2))
40 pjopyth 28919 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → ((norm‘(((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))↑2) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2))))
4140imp 393 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((norm‘(((proj𝑧)‘𝑢) + ((proj𝑤)‘𝑢)))↑2) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2)))
4239, 41eqtrd 2805 . . . . . . . 8 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))↑2) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2)))
43 chjcl 28556 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧C𝑤C ) → (𝑧 𝑤) ∈ C )
44433adant3 1126 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧 𝑤) ∈ C )
4544adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑧 𝑤) ∈ C )
4623strlem2 29450 . . . . . . . . 9 ((𝑧 𝑤) ∈ C → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))↑2))
4745, 46syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((norm‘((proj‘(𝑧 𝑤))‘𝑢))↑2))
48 3simpa 1142 . . . . . . . . . 10 ((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑧C𝑤C ))
4948adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑧C𝑤C ))
5023strlem2 29450 . . . . . . . . . 10 (𝑧C → (𝑆𝑧) = ((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2))
5123strlem2 29450 . . . . . . . . . 10 (𝑤C → (𝑆𝑤) = ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2))
5250, 51oveqan12d 6812 . . . . . . . . 9 ((𝑧C𝑤C ) → ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2)))
5349, 52syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)) = (((norm‘((proj𝑧)‘𝑢))↑2) + ((norm‘((proj𝑤)‘𝑢))↑2)))
5442, 47, 533eqtr4d 2815 . . . . . . 7 (((𝑧C𝑤C𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤)) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))
55543exp1 1445 . . . . . 6 (𝑧C → (𝑤C → (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))))
5655com3r 87 . . . . 5 (𝑢 ∈ ℋ → (𝑧C → (𝑤C → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))))
5756adantr 466 . . . 4 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑧C → (𝑤C → (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))))
5857ralrimdv 3117 . . 3 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑧C → ∀𝑤C (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))))
5958ralrimiv 3114 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → ∀𝑧C𝑤C (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤))))
60 isst 29412 . 2 (𝑆 ∈ States ↔ (𝑆: C ⟶(0[,]1) ∧ (𝑆‘ ℋ) = 1 ∧ ∀𝑧C𝑤C (𝑧 ⊆ (⊥‘𝑤) → (𝑆‘(𝑧 𝑤)) = ((𝑆𝑧) + (𝑆𝑤)))))
6124, 35, 59, 60syl3anbrc 1428 1 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ States)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wss 3723   class class class wbr 4786  cmpt 4863  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  cle 10277  2c2 11272  0cn0 11494  [,]cicc 12383  cexp 13067  chil 28116   + cva 28117  normcno 28120   C cch 28126  cort 28127   chj 28130  projcpjh 28134  Statescst 28159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvmulass 28204  ax-hvdistr1 28205  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282  ax-hcompl 28399
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-lm 21254  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cfil 23272  df-cau 23273  df-cmet 23274  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-dip 27896  df-ssp 27917  df-ph 28008  df-cbn 28059  df-hnorm 28165  df-hba 28166  df-hvsub 28168  df-hlim 28169  df-hcau 28170  df-sh 28404  df-ch 28418  df-oc 28449  df-ch0 28450  df-shs 28507  df-chj 28509  df-pjh 28594  df-st 29410
This theorem is referenced by:  strlem3  29452
  Copyright terms: Public domain W3C validator