HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  strlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strlem1 29079
Description: Lemma for strong state theorem: if closed subspace 𝐴 is not contained in 𝐵, there is a unit vector 𝑢 in their difference. (Contributed by NM, 25-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
strlem1.1 𝐴C
strlem1.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
strlem1 𝐴𝐵 → ∃𝑢 ∈ (𝐴𝐵)(norm𝑢) = 1)
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵

Proof of Theorem strlem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neq0 3922 . . 3 (¬ (𝐴𝐵) = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
2 ssdif0 3933 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵) = ∅)
31, 2xchnxbir 323 . 2 𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
4 eldifi 3724 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑥𝐴)
5 strlem1.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴C
65cheli 28059 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
7 normcl 27952 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
84, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (norm𝑥) ∈ ℝ)
9 strlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵C
10 ch0 28055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵C → 0𝐵)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 0𝐵
12 eldifn 3725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ (𝐴𝐵) → ¬ 0𝐵)
1311, 12mt2 191 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 0 ∈ (𝐴𝐵)
14 eleq1 2687 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴𝐵)))
1513, 14mtbiri 317 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
1615con2i 134 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ¬ 𝑥 = 0)
17 norm-i 27956 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
184, 6, 173syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ((norm𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
1916, 18mtbird 315 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ¬ (norm𝑥) = 0)
2019neqned 2798 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (norm𝑥) ≠ 0)
218, 20rereccld 10837 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (1 / (norm𝑥)) ∈ ℝ)
2221recnd 10053 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ)
235chshii 28054 . . . . . . . . . 10 𝐴S
24 shmulcl 28045 . . . . . . . . . 10 ((𝐴S ∧ (1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐴) → ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐴)
2523, 24mp3an1 1409 . . . . . . . . 9 (((1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐴) → ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐴)
2625ex 450 . . . . . . . 8 ((1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ → (𝑥𝐴 → ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐴))
2722, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (𝑥𝐴 → ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐴))
288recnd 10053 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (norm𝑥) ∈ ℂ)
299chshii 28054 . . . . . . . . . . . 12 𝐵S
30 shmulcl 28045 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵S ∧ (norm𝑥) ∈ ℂ ∧ ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐵) → ((norm𝑥) · ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ∈ 𝐵)
3129, 30mp3an1 1409 . . . . . . . . . . 11 (((norm𝑥) ∈ ℂ ∧ ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐵) → ((norm𝑥) · ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ∈ 𝐵)
3231ex 450 . . . . . . . . . 10 ((norm𝑥) ∈ ℂ → (((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐵 → ((norm𝑥) · ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ∈ 𝐵))
3328, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐵 → ((norm𝑥) · ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ∈ 𝐵))
3428, 20recidd 10781 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ((norm𝑥) · (1 / (norm𝑥))) = 1)
3534oveq1d 6650 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (((norm𝑥) · (1 / (norm𝑥))) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
364, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
37 ax-hvmulass 27834 . . . . . . . . . . . 12 (((norm𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((norm𝑥) · (1 / (norm𝑥))) · 𝑥) = ((norm𝑥) · ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)))
3828, 22, 36, 37syl3anc 1324 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (((norm𝑥) · (1 / (norm𝑥))) · 𝑥) = ((norm𝑥) · ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)))
39 ax-hvmulid 27833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
404, 6, 393syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
4135, 38, 403eqtr3d 2662 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ((norm𝑥) · ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = 𝑥)
4241eleq1d 2684 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (((norm𝑥) · ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ∈ 𝐵𝑥𝐵))
4333, 42sylibd 229 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐵𝑥𝐵))
4443con3d 148 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (¬ 𝑥𝐵 → ¬ ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐵))
4527, 44anim12d 585 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵) → (((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐵)))
46 eldif 3577 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵))
47 eldif 3577 . . . . . 6 (((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ (𝐴𝐵) ↔ (((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐵))
4845, 46, 473imtr4g 285 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ (𝐴𝐵)))
4948pm2.43i 52 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ (𝐴𝐵))
50 norm-iii 27967 . . . . . 6 (((1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = ((abs‘(1 / (norm𝑥))) · (norm𝑥)))
5122, 36, 50syl2anc 692 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = ((abs‘(1 / (norm𝑥))) · (norm𝑥)))
5215necon2ai 2820 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑥 ≠ 0)
53 normgt0 27954 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ≠ 0 ↔ 0 < (norm𝑥)))
544, 6, 533syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (𝑥 ≠ 0 ↔ 0 < (norm𝑥)))
5552, 54mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 0 < (norm𝑥))
56 1re 10024 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
57 0le1 10536 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
58 divge0 10877 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (norm𝑥))) → 0 ≤ (1 / (norm𝑥)))
5956, 57, 58mpanl12 717 . . . . . . . 8 (((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (norm𝑥)) → 0 ≤ (1 / (norm𝑥)))
608, 55, 59syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 0 ≤ (1 / (norm𝑥)))
6121, 60absidd 14142 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (abs‘(1 / (norm𝑥))) = (1 / (norm𝑥)))
6261oveq1d 6650 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ((abs‘(1 / (norm𝑥))) · (norm𝑥)) = ((1 / (norm𝑥)) · (norm𝑥)))
6328, 20recid2d 10782 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ((1 / (norm𝑥)) · (norm𝑥)) = 1)
6451, 62, 633eqtrd 2658 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = 1)
65 fveq2 6178 . . . . . 6 (𝑢 = ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) → (norm𝑢) = (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)))
6665eqeq1d 2622 . . . . 5 (𝑢 = ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) → ((norm𝑢) = 1 ↔ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = 1))
6766rspcev 3304 . . . 4 ((((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ (𝐴𝐵) ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = 1) → ∃𝑢 ∈ (𝐴𝐵)(norm𝑢) = 1)
6849, 64, 67syl2anc 692 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ∃𝑢 ∈ (𝐴𝐵)(norm𝑢) = 1)
6968exlimiv 1856 . 2 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ∃𝑢 ∈ (𝐴𝐵)(norm𝑢) = 1)
703, 69sylbi 207 1 𝐴𝐵 → ∃𝑢 ∈ (𝐴𝐵)(norm𝑢) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wne 2791  wrex 2910  cdif 3564  wss 3567  c0 3907   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   · cmul 9926   < clt 10059  cle 10060   / cdiv 10669  abscabs 13955  chil 27746   · csm 27748  normcno 27750  0c0v 27751   S csh 27755   C cch 27756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-hilex 27826  ax-hfvadd 27827  ax-hv0cl 27830  ax-hfvmul 27832  ax-hvmulid 27833  ax-hvmulass 27834  ax-hvmul0 27837  ax-hfi 27906  ax-his1 27909  ax-his3 27911  ax-his4 27912
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-hnorm 27795  df-sh 28034  df-ch 28048
This theorem is referenced by:  stri  29086  hstri  29094
  Copyright terms: Public domain W3C validator