Theorem strfv 16030

Description: Extract a structure component 𝐶 (such as the base set) from a structure 𝑆 (such as a member of Poset, df-poset 17068) with a component extractor 𝐸 (such as the base set extractor df-base 15986). By virtue of ndxid 16006, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of 𝐸. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	⊢ 𝑆 Struct 𝑋
strfv.e	⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
strfv.n	⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strfv	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 ⊢ 𝑆 Struct 𝑋
2		structex 15991	. . 3 ⊢ (𝑆 Struct 𝑋 → 𝑆 ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ V
4	1	structfun 15996	. 2 ⊢ Fun ◡◡𝑆
5		strfv.e	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
6		strfv.n	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆
7		opex 5037	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V
8	7	snss 4423	. . 3 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆 ↔ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ 𝑆)
9	6, 8	mpbir 221	. 2 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
10	3, 4, 5, 9	strfv2 16029	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  Vcvv 3304   ⊆ wss 3680  {csn 4285  ⟨cop 4291   class class class wbr 4760  ‘cfv 6001   Struct cstr 15976  ndxcnx 15977  Slot cslot 15979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-struct 15982  df-slot 15984

This theorem is referenced by:  strfv3  16031  1strbas  16103  2strbas  16107  2strop  16108  2strbas1  16110  2strop1  16111  rngbase  16124  rngplusg  16125  rngmulr  16126  srngbase  16132  srngplusg  16133  srngmulr  16134  srnginvl  16135  lmodbase  16141  lmodplusg  16142  lmodsca  16143  lmodvsca  16144  ipsbase  16148  ipsaddg  16149  ipsmulr  16150  ipssca  16151  ipsvsca  16152  ipsip  16153  phlbase  16158  phlplusg  16159  phlsca  16160  phlvsca  16161  phlip  16162  topgrpbas  16166  topgrpplusg  16167  topgrptset  16168  otpsbas  16175  otpstset  16176  otpsle  16177  otpsbasOLD  16179  otpstsetOLD  16180  otpsleOLD  16181  odrngbas  16190  odrngplusg  16191  odrngmulr  16192  odrngtset  16193  odrngle  16194  odrngds  16195  imassca  16302  imastset  16305  fuccofval  16741  setcbas  16850  catchomfval  16870  catccofval  16872  estrcbas  16887  ipobas  17277  ipolerval  17278  ipotset  17279  psrbas  19501  psrplusg  19504  psrmulr  19507  psrsca  19512  psrvscafval  19513  cnfldbas  19873  cnfldadd  19874  cnfldmul  19875  cnfldcj  19876  cnfldtset  19877  cnfldle  19878  cnfldds  19879  cnfldunif  19880  trkgbas  25464  trkgdist  25465  trkgitv  25466  algbase  38167  algaddg  38168  algmulr  38169  algsca  38170  algvsca  38171  rngchomfvalALTV  42411  rngccofvalALTV  42414  ringchomfvalALTV  42474  ringccofvalALTV  42477