Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem7 40719
Description: This lemma is used to prove that qn as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91, (at the top of page 91), is such that qn < ε on 𝑇𝑈, and qn > 1 - ε on 𝑉. Here it is proven that, for 𝑛 large enough, 1-(k*δ/2)^n > 1 - ε , and 1/(k*δ)^n < ε. The variable 𝐴 is used to represent (k*δ) in the paper, and 𝐵 is used to represent (k*δ/2). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem7.1 𝐹 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖))
stoweidlem7.2 𝐺 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑖))
stoweidlem7.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
stoweidlem7.4 (𝜑 → 1 < 𝐴)
stoweidlem7.5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
stoweidlem7.6 (𝜑𝐵 < 1)
stoweidlem7.7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem7 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ (1 / (𝐴𝑛)) < 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑛,𝐴   𝐵,𝑖,𝑛   𝑖,𝐸,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem7
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11908 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11592 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 stoweidlem7.7 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
4 stoweidlem7.2 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑖))
54a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐺 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑖)))
6 oveq2 6813 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑘 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑘))
76adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑘))
8 nnnn0 11483 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
98adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10 stoweidlem7.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
1110rpcnd 12059 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1211adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1312, 9expcld 13194 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
145, 7, 9, 13fvmptd 6442 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (𝐵𝑘))
15 1red 10239 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1615renegcld 10641 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
17 0red 10225 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
1810rpred 12057 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
19 neg1lt0 11311 . . . . . . . . . 10 -1 < 0
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 < 0)
2110rpgt0d 12060 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝐵)
2216, 17, 18, 20, 21lttrd 10382 . . . . . . . 8 (𝜑 → -1 < 𝐵)
23 stoweidlem7.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 < 1)
2418, 15absltd 14359 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝐵) < 1 ↔ (-1 < 𝐵𝐵 < 1)))
2522, 23, 24mpbir2and 995 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
2611, 25expcnv 14787 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑖)) ⇝ 0)
274, 26syl5eqbr 4831 . . . . 5 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
281, 2, 3, 14, 27climi 14432 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸))
29 r19.26 3194 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸))
3029simprbi 483 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)
3130ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)
32 oveq2 6813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
3332oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐵𝑘) − 0) = ((𝐵𝑖) − 0))
3433fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) = (abs‘((𝐵𝑖) − 0)))
3534breq1d 4806 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸 ↔ (abs‘((𝐵𝑖) − 0)) < 𝐸))
3635rspccva 3440 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐵𝑖) − 0)) < 𝐸)
3731, 36sylancom 704 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐵𝑖) − 0)) < 𝐸)
38 simplll 815 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
3938, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4039rpred 12057 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
41 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
42 nnnn0 11483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
44 eluznn0 11942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4543, 44sylancom 704 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4640, 45reexpcld 13211 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
47 rpre 12024 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸 ∈ ℝ+𝐸 ∈ ℝ)
4838, 3, 473syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐸 ∈ ℝ)
49 recn 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵𝑖) ∈ ℝ → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
5049subid1d 10565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑖) ∈ ℝ → ((𝐵𝑖) − 0) = (𝐵𝑖))
5150adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑖) − 0) = (𝐵𝑖))
5251fveq2d 6348 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐵𝑖) − 0)) = (abs‘(𝐵𝑖)))
5352breq1d 4806 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐵𝑖) − 0)) < 𝐸 ↔ (abs‘(𝐵𝑖)) < 𝐸))
54 abslt 14245 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐵𝑖)) < 𝐸 ↔ (-𝐸 < (𝐵𝑖) ∧ (𝐵𝑖) < 𝐸)))
5553, 54bitrd 268 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐵𝑖) − 0)) < 𝐸 ↔ (-𝐸 < (𝐵𝑖) ∧ (𝐵𝑖) < 𝐸)))
5646, 48, 55syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐵𝑖) − 0)) < 𝐸 ↔ (-𝐸 < (𝐵𝑖) ∧ (𝐵𝑖) < 𝐸)))
5737, 56mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (-𝐸 < (𝐵𝑖) ∧ (𝐵𝑖) < 𝐸))
5857simprd 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐵𝑖) < 𝐸)
59 eluznn 11943 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ)
6041, 59sylancom 704 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ)
6118adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
62 nnnn0 11483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0)
6362adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
6461, 63reexpcld 13211 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
653rpred 12057 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
6665adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝐸 ∈ ℝ)
67 1red 10239 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
6864, 66, 67ltsub2d 10821 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑖) < 𝐸 ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑖))))
6938, 60, 68syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐵𝑖) < 𝐸 ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑖))))
7058, 69mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑖)))
7170ralrimiva 3096 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑖)))
7232oveq2d 6821 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → (1 − (𝐵𝑘)) = (1 − (𝐵𝑖)))
7372breq2d 4808 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑖))))
7473cbvralv 3302 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑖)))
7571, 74sylibr 224 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)))
7675ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘))))
7776reximdva 3147 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘))))
7828, 77mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)))
79 stoweidlem7.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖))
8079a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖)))
81 oveq2 6813 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑘 → ((1 / 𝐴)↑𝑖) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
8281adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = 𝑘) → ((1 / 𝐴)↑𝑖) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
83 stoweidlem7.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8483recnd 10252 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
85 0lt1 10734 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
8685a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 1)
87 stoweidlem7.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < 𝐴)
8817, 15, 83, 86, 87lttrd 10382 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐴)
8988gt0ne0d 10776 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≠ 0)
9084, 89reccld 10978 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
9190adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
9291, 9expcld 13194 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
9380, 82, 9, 92fvmptd 6442 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
9483, 89rereccld 11036 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
9583, 88recgt0d 11142 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (1 / 𝐴))
9616, 17, 94, 20, 95lttrd 10382 . . . . . . . 8 (𝜑 → -1 < (1 / 𝐴))
97 ltdiv23 11098 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → ((1 / 𝐴) < 1 ↔ (1 / 1) < 𝐴))
9815, 83, 88, 15, 86, 97syl122anc 1482 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 1 ↔ (1 / 1) < 𝐴))
99 1cnd 10240 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
10099div1d 10977 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 1) = 1)
101100breq1d 4806 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 1) < 𝐴 ↔ 1 < 𝐴))
10298, 101bitrd 268 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 1 ↔ 1 < 𝐴))
10387, 102mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 𝐴) < 1)
10494, 15absltd 14359 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(1 / 𝐴)) < 1 ↔ (-1 < (1 / 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 1)))
10596, 103, 104mpbir2and 995 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) < 1)
10690, 105expcnv 14787 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖)) ⇝ 0)
10779, 106syl5eqbr 4831 . . . . 5 (𝜑𝐹 ⇝ 0)
1081, 2, 3, 93, 107climi2 14433 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸)
109 simpll 807 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
110 uznnssnn 11920 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (ℤ𝑛) ⊆ ℕ)
111110ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℤ𝑛) ⊆ ℕ)
112 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑛))
113111, 112sseldd 3737 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
11492subid1d 10565 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
115114fveq2d 6348 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) = (abs‘((1 / 𝐴)↑𝑘)))
11694adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
117116, 9reexpcld 13211 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
11817, 94, 95ltled 10369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝐴))
119118adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
120116, 9, 119expge0d 13212 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / 𝐴)↑𝑘))
121117, 120absidd 14352 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
122115, 121eqtrd 2786 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
123122breq1d 4806 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 ↔ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
124123biimpd 219 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
125109, 113, 124syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
126125ralimdva 3092 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
127126reximdva 3147 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
128108, 127mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)
1291rexanuz2 14280 . . 3 (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
13078, 128, 129sylanbrc 701 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
131 simpr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
132 nnz 11583 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
133 uzid 11886 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
134132, 133syl 17 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
135134ad2antlr 765 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
136 oveq2 6813 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑛))
137136oveq2d 6821 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (1 − (𝐵𝑘)) = (1 − (𝐵𝑛)))
138137breq2d 4808 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛))))
139 oveq2 6813 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((1 / 𝐴)↑𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑛))
140139breq1d 4806 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸 ↔ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
141138, 140anbi12d 749 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) ↔ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸)))
142141rspccva 3440 . . . . . 6 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑛)) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
143131, 135, 142syl2anc 696 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
144 1cnd 10240 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
14584, 89jca 555 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
146145adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
14742adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
148 expdiv 13097 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = ((1↑𝑛) / (𝐴𝑛)))
149144, 146, 147, 148syl3anc 1473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = ((1↑𝑛) / (𝐴𝑛)))
150132adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
151 1exp 13075 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
152150, 151syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1↑𝑛) = 1)
153152oveq1d 6820 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((1↑𝑛) / (𝐴𝑛)) = (1 / (𝐴𝑛)))
154149, 153eqtrd 2786 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = (1 / (𝐴𝑛)))
155154breq1d 4806 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸 ↔ (1 / (𝐴𝑛)) < 𝐸))
156155adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → (((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸 ↔ (1 / (𝐴𝑛)) < 𝐸))
157156anbi2d 742 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → (((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸) ↔ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ (1 / (𝐴𝑛)) < 𝐸)))
158143, 157mpbid 222 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ (1 / (𝐴𝑛)) < 𝐸))
159158ex 449 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ (1 / (𝐴𝑛)) < 𝐸)))
160159reximdva 3147 . 2 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ (1 / (𝐴𝑛)) < 𝐸)))
161130, 160mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ (1 / (𝐴𝑛)) < 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wral 3042  wrex 3043  wss 3707   class class class wbr 4796  cmpt 4873  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   < clt 10258  cle 10259  cmin 10450  -cneg 10451   / cdiv 10868  cn 11204  0cn0 11476  cz 11561  cuz 11871  +crp 12017  cexp 13046  abscabs 14165  cli 14406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-rlim 14411
This theorem is referenced by:  stoweidlem49  40761
  Copyright terms: Public domain W3C validator