Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem57 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem57 40769
Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. In this theorem, it is proven the non-trivial case (the closed set D is nonempty). Here D is used to represent A in the paper, because the variable A is used for the subalgebra of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem57.1 𝑡𝐷
stoweidlem57.2 𝑡𝑈
stoweidlem57.3 𝑡𝜑
stoweidlem57.4 𝑌 = {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}
stoweidlem57.5 𝑉 = {𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
stoweidlem57.6 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem57.7 𝑇 = 𝐽
stoweidlem57.8 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem57.9 𝑈 = (𝑇𝐵)
stoweidlem57.10 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem57.11 (𝜑𝐴𝐶)
stoweidlem57.12 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem57.13 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem57.14 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑎) ∈ 𝐴)
stoweidlem57.15 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
stoweidlem57.16 (𝜑𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
stoweidlem57.17 (𝜑𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
stoweidlem57.18 (𝜑 → (𝐵𝐷) = ∅)
stoweidlem57.19 (𝜑𝐷 ≠ ∅)
stoweidlem57.20 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem57.21 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem57 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑎,𝑓,𝑡   𝑞,𝑎,𝑟,𝑓,𝑡,𝐴   𝐴,𝑒,𝑓,𝑡   𝐷,𝑎,𝑒,𝑓   𝑇,𝑎,𝑒,𝑓,𝑡   𝑈,𝑎,𝑒,𝑓   𝜑,𝑎,𝑒,𝑓   𝑒,𝑔,,𝑓,𝑡,𝐴   𝑤,𝑒,,𝑡,𝐴   𝑒,𝐸,𝑓,𝑔,,𝑡   𝑔,𝑟,,𝐴   𝑥,𝑓,𝑔,,𝑡,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔,𝑟   𝑓,𝑉,𝑔,𝑟   𝑓,𝑌,𝑔,𝑟   𝑔,𝑞,𝐷   𝐷,,𝑟   𝑔,𝐽,,𝑡   𝑇,𝑔,,𝑟   𝑈,𝑔,,𝑟   𝜑,𝑔,,𝑟   𝑤,𝑟,𝐸   𝐴,𝑞   𝐷,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝜑,𝑞   𝑤,𝐷   𝑤,𝐵   𝑡,𝐾   𝜑,𝑤   𝑤,𝐽   𝑤,𝑇   𝑤,𝑈   𝑤,𝑌   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑡)   𝐵(𝑡,𝑒,,𝑞,𝑎)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞,𝑎)   𝐷(𝑡)   𝑈(𝑥,𝑡)   𝐸(𝑞,𝑎)   𝐽(𝑥,𝑒,𝑓,𝑟,𝑞,𝑎)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞,𝑎)   𝑉(𝑥,𝑤,𝑡,𝑒,,𝑞,𝑎)   𝑌(𝑥,𝑡,𝑒,,𝑞,𝑎)

Proof of Theorem stoweidlem57
Dummy variables 𝑠 𝑚 𝑖 𝑣 𝑦 𝑢 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem57.2 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑈
2 stoweidlem57.3 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝜑
3 stoweidlem57.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝐷
43nfcri 2888 . . . . . . . . . . 11 𝑡 𝑠𝐷
52, 4nfan 1969 . . . . . . . . . 10 𝑡(𝜑𝑠𝐷)
6 stoweidlem57.6 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (topGen‘ran (,))
7 stoweidlem57.10 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
87adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝐽 ∈ Comp)
9 stoweidlem57.7 . . . . . . . . . 10 𝑇 = 𝐽
10 stoweidlem57.8 . . . . . . . . . 10 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
11 stoweidlem57.11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐶)
1211adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝐴𝐶)
13 stoweidlem57.12 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
14133adant1r 1185 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐷) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
15 stoweidlem57.13 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
16153adant1r 1185 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐷) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
17 stoweidlem57.14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑎) ∈ 𝐴)
1817adantlr 753 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐷) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑎) ∈ 𝐴)
19 stoweidlem57.15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
2019adantlr 753 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐷) ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
21 stoweidlem57.9 . . . . . . . . . . . 12 𝑈 = (𝑇𝐵)
22 stoweidlem57.16 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
23 cmptop 21392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
249iscld 21025 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ Top → (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝐵𝑇 ∧ (𝑇𝐵) ∈ 𝐽)))
257, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝐵𝑇 ∧ (𝑇𝐵) ∈ 𝐽)))
2622, 25mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝑇 ∧ (𝑇𝐵) ∈ 𝐽))
2726simprd 482 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑇𝐵) ∈ 𝐽)
2821, 27syl5eqel 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐽)
2928adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑈𝐽)
30 stoweidlem57.17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
319cldss 21027 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐷𝑇)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷𝑇)
3332sselda 3736 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠𝑇)
34 stoweidlem57.18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵𝐷) = ∅)
35 disjr 4153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵𝐷) = ∅ ↔ ∀𝑠𝐷 ¬ 𝑠𝐵)
3634, 35sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑠𝐷 ¬ 𝑠𝐵)
3736r19.21bi 3062 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐷) → ¬ 𝑠𝐵)
3833, 37eldifd 3718 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠 ∈ (𝑇𝐵))
3938, 21syl6eleqr 2842 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠𝑈)
401, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 29, 39stoweidlem56 40768 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐷) → ∃𝑤𝐽 ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))))
41 simpl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → 𝑤𝐽)
42 simprll 821 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → 𝑠𝑤)
43 simprr 813 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))
44 stoweidlem57.5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = {𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
4544rabeq2i 3329 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝑉 ↔ (𝑤𝐽 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))))
4641, 43, 45sylanbrc 701 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → 𝑤𝑉)
4741, 42, 46jca32 559 . . . . . . . . . 10 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → (𝑤𝐽 ∧ (𝑠𝑤𝑤𝑉)))
4847reximi2 3140 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐽 ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))) → ∃𝑤𝐽 (𝑠𝑤𝑤𝑉))
49 rexex 3132 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐽 (𝑠𝑤𝑤𝑉) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑉))
5040, 48, 493syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐷) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑉))
51 nfcv 2894 . . . . . . . . 9 𝑤𝑠
52 nfrab1 3253 . . . . . . . . . 10 𝑤{𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
5344, 52nfcxfr 2892 . . . . . . . . 9 𝑤𝑉
5451, 53elunif 39666 . . . . . . . 8 (𝑠 𝑉 ↔ ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑉))
5550, 54sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠 𝑉)
5655ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠𝐷𝑠 𝑉))
5756ssrdv 3742 . . . . 5 (𝜑𝐷 𝑉)
58 cmpcld 21399 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽t 𝐷) ∈ Comp)
597, 30, 58syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽t 𝐷) ∈ Comp)
607, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Top)
619cmpsub 21397 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐷𝑇) → ((𝐽t 𝐷) ∈ Comp ↔ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽(𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢)))
6260, 32, 61syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽t 𝐷) ∈ Comp ↔ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽(𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢)))
6359, 62mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽(𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢))
64 ssrab2 3820 . . . . . . . 8 {𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))} ⊆ 𝐽
6544, 64eqsstri 3768 . . . . . . 7 𝑉𝐽
6644, 7rabexd 4957 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ V)
67 elpwg 4302 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 𝐽𝑉𝐽))
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝒫 𝐽𝑉𝐽))
6965, 68mpbiri 248 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ 𝒫 𝐽)
70 unieq 4588 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑉 𝑘 = 𝑉)
7170sseq2d 3766 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑉 → (𝐷 𝑘𝐷 𝑉))
72 pweq 4297 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑉 → 𝒫 𝑘 = 𝒫 𝑉)
7372ineq1d 3948 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑉 → (𝒫 𝑘 ∩ Fin) = (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
7473rexeqdv 3276 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑉 → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢))
7571, 74imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑉 → ((𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢) ↔ (𝐷 𝑉 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢)))
7675rspccva 3440 . . . . . 6 ((∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽(𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐽) → (𝐷 𝑉 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢))
7763, 69, 76syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 𝑉 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢))
7857, 77mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢)
79 elinel1 3934 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑉)
80 elpwi 4304 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑉𝑢𝑉)
8180ssdifssd 3883 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑢 ∖ {∅}) ⊆ 𝑉)
82 vex 3335 . . . . . . . . . . . 12 𝑢 ∈ V
83 difexg 4952 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ V → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ V)
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∖ {∅}) ∈ V
8584elpw 4300 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∖ {∅}) ∈ 𝒫 𝑉 ↔ (𝑢 ∖ {∅}) ⊆ 𝑉)
8681, 85sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ 𝒫 𝑉)
8779, 86syl 17 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ 𝒫 𝑉)
88 elinel2 3935 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ Fin)
89 diffi 8349 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ Fin → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ Fin)
9088, 89syl 17 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ Fin)
9187, 90elind 3933 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
92913ad2ant2 1128 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ 𝐷 𝑢) → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
93 unidif0 4979 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∖ {∅}) = 𝑢
9493sseq2i 3763 . . . . . . . 8 (𝐷 (𝑢 ∖ {∅}) ↔ 𝐷 𝑢)
9594biimpri 218 . . . . . . 7 (𝐷 𝑢𝐷 (𝑢 ∖ {∅}))
96953ad2ant3 1129 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ 𝐷 𝑢) → 𝐷 (𝑢 ∖ {∅}))
97 eldifsni 4458 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅}) → 𝑤 ≠ ∅)
9897rgen 3052 . . . . . . 7 𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅
9998a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ 𝐷 𝑢) → ∀𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅)
100 unieq 4588 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}) → 𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}))
101100sseq2d 3766 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}) → (𝐷 𝑟𝐷 (𝑢 ∖ {∅})))
102 raleq 3269 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}) → (∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅))
103101, 102anbi12d 749 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}) → ((𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅) ↔ (𝐷 (𝑢 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅)))
104103rspcev 3441 . . . . . 6 (((𝑢 ∖ {∅}) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 (𝑢 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅)) → ∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
10592, 96, 99, 104syl12anc 1471 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ 𝐷 𝑢) → ∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
106105rexlimdv3a 3163 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢 → ∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)))
10778, 106mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
108 nfv 1984 . . . . . 6 𝜑
109 nfcv 2894 . . . . . . . . . . . 12 +
110 nfre1 3135 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
111109, 110nfral 3075 . . . . . . . . . . 11 𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
112 nfcv 2894 . . . . . . . . . . 11 𝐽
113111, 112nfrab 3254 . . . . . . . . . 10 {𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
11444, 113nfcxfr 2892 . . . . . . . . 9 𝑉
115114nfpw 4308 . . . . . . . 8 𝒫 𝑉
116 nfcv 2894 . . . . . . . 8 Fin
117115, 116nfin 3955 . . . . . . 7 (𝒫 𝑉 ∩ Fin)
118117nfcri 2888 . . . . . 6 𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)
119 nfv 1984 . . . . . 6 (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)
120108, 118, 119nf3an 1972 . . . . 5 (𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
121 nfcv 2894 . . . . . . . . . . . 12 𝑡+
122 nfcv 2894 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡𝐴
123 nfra1 3071 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)
124 nfra1 3071 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒
125 nfra1 3071 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)
126123, 124, 125nf3an 1972 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡(∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
127122, 126nfrex 3137 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
128121, 127nfral 3075 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
129 nfcv 2894 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝐽
130128, 129nfrab 3254 . . . . . . . . . 10 𝑡{𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
13144, 130nfcxfr 2892 . . . . . . . . 9 𝑡𝑉
132131nfpw 4308 . . . . . . . 8 𝑡𝒫 𝑉
133 nfcv 2894 . . . . . . . 8 𝑡Fin
134132, 133nfin 3955 . . . . . . 7 𝑡(𝒫 𝑉 ∩ Fin)
135134nfcri 2888 . . . . . 6 𝑡 𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)
136 nfcv 2894 . . . . . . . 8 𝑡 𝑟
1373, 136nfss 3729 . . . . . . 7 𝑡 𝐷 𝑟
138 nfv 1984 . . . . . . 7 𝑡𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅
139137, 138nfan 1969 . . . . . 6 𝑡(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)
1402, 135, 139nf3an 1972 . . . . 5 𝑡(𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
141 nfv 1984 . . . . . 6 𝑤𝜑
14253nfpw 4308 . . . . . . . 8 𝑤𝒫 𝑉
143 nfcv 2894 . . . . . . . 8 𝑤Fin
144142, 143nfin 3955 . . . . . . 7 𝑤(𝒫 𝑉 ∩ Fin)
145144nfcri 2888 . . . . . 6 𝑤 𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)
146 nfv 1984 . . . . . . 7 𝑤 𝐷 𝑟
147 nfra1 3071 . . . . . . 7 𝑤𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅
148146, 147nfan 1969 . . . . . 6 𝑤(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)
149141, 145, 148nf3an 1972 . . . . 5 𝑤(𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
150 stoweidlem57.4 . . . . 5 𝑌 = {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}
151 simp2 1131 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
152 simp3l 1241 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐷 𝑟)
153 stoweidlem57.19 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ≠ ∅)
1541533ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐷 ≠ ∅)
155 stoweidlem57.20 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1561553ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
15726simpld 477 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑇)
1581573ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐵𝑇)
159663ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝑉 ∈ V)
160 retop 22758 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
1616, 160eqeltri 2827 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ Top
162 cnfex 39678 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
16360, 161, 162sylancl 697 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
16411, 10syl6sseq 3784 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
165163, 164ssexd 4949 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ V)
1661653ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ V)
167120, 140, 149, 21, 150, 44, 151, 152, 154, 156, 158, 159, 166stoweidlem39 40751 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
168167rexlimdv3a 3163 . . 3 (𝜑 → (∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))))
169107, 168mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
170 nfv 1984 . . . . . . 7 𝑖(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
171 nfv 1984 . . . . . . . 8 𝑖 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉
172 nfv 1984 . . . . . . . 8 𝑖 𝐷 ran 𝑣
173 nfv 1984 . . . . . . . . . 10 𝑖 𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌
174 nfra1 3071 . . . . . . . . . 10 𝑖𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))
175173, 174nfan 1969 . . . . . . . . 9 𝑖(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
176175nfex 2293 . . . . . . . 8 𝑖𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
177171, 172, 176nf3an 1972 . . . . . . 7 𝑖(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
178170, 177nfan 1969 . . . . . 6 𝑖((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
179 nfv 1984 . . . . . . . 8 𝑡 𝑚 ∈ ℕ
1802, 179nfan 1969 . . . . . . 7 𝑡(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
181 nfcv 2894 . . . . . . . . 9 𝑡𝑣
182 nfcv 2894 . . . . . . . . 9 𝑡(1...𝑚)
183181, 182, 131nff 6194 . . . . . . . 8 𝑡 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉
184 nfcv 2894 . . . . . . . . 9 𝑡 ran 𝑣
1853, 184nfss 3729 . . . . . . . 8 𝑡 𝐷 ran 𝑣
186 nfcv 2894 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝑦
187123, 122nfrab 3254 . . . . . . . . . . . 12 𝑡{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}
188150, 187nfcxfr 2892 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝑌
189186, 182, 188nff 6194 . . . . . . . . . 10 𝑡 𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌
190 nfra1 3071 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚)
191 nfra1 3071 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)
192190, 191nfan 1969 . . . . . . . . . . 11 𝑡(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))
193182, 192nfral 3075 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))
194189, 193nfan 1969 . . . . . . . . 9 𝑡(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
195194nfex 2293 . . . . . . . 8 𝑡𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
196183, 185, 195nf3an 1972 . . . . . . 7 𝑡(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
197180, 196nfan 1969 . . . . . 6 𝑡((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
198 nfv 1984 . . . . . . 7 𝑦(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
199 nfv 1984 . . . . . . . 8 𝑦 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉
200 nfv 1984 . . . . . . . 8 𝑦 𝐷 ran 𝑣
201 nfe1 2168 . . . . . . . 8 𝑦𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
202199, 200, 201nf3an 1972 . . . . . . 7 𝑦(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
203198, 202nfan 1969 . . . . . 6 𝑦((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
204 nfv 1984 . . . . . . 7 𝑤(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
205 nfcv 2894 . . . . . . . . 9 𝑤𝑣
206 nfcv 2894 . . . . . . . . 9 𝑤(1...𝑚)
207205, 206, 53nff 6194 . . . . . . . 8 𝑤 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉
208 nfv 1984 . . . . . . . 8 𝑤 𝐷 ran 𝑣
209 nfv 1984 . . . . . . . 8 𝑤𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
210207, 208, 209nf3an 1972 . . . . . . 7 𝑤(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
211204, 210nfan 1969 . . . . . 6 𝑤((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
212 eqid 2752 . . . . . 6 {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} = {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}
213 eqid 2752 . . . . . 6 (𝑓 ∈ {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}, 𝑔 ∈ {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡)))) = (𝑓 ∈ {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}, 𝑔 ∈ {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))))
214 eqid 2752 . . . . . 6 (𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑚) ↦ ((𝑦𝑖)‘𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑚) ↦ ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
215 eqid 2752 . . . . . 6 (𝑡𝑇 ↦ (seq1( · , ((𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑚) ↦ ((𝑦𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))‘𝑚)) = (𝑡𝑇 ↦ (seq1( · , ((𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑚) ↦ ((𝑦𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))‘𝑚))
216 simp1ll 1300 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → 𝜑)
217216, 15syld3an1 1513 . . . . . 6 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
21811sselda 3736 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓𝐶)
2196, 9, 10, 218fcnre 39675 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
220219ad4ant14 1206 . . . . . 6 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) ∧ 𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
221 simplr 809 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝑚 ∈ ℕ)
222 simpr1 1231 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉)
2239cldss 21027 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐵𝑇)
22422, 223syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑇)
225224ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐵𝑇)
226 simpr2 1233 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐷 ran 𝑣)
22732ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐷𝑇)
228 feq3 6181 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} → (𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}))
229150, 228ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)})
230229biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)})
231230anim1i 593 . . . . . . . . 9 ((𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))) → (𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
232231eximi 1903 . . . . . . . 8 (∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))) → ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
2332323ad2ant3 1129 . . . . . . 7 ((𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
234233adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
235 uniexg 7112 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ V)
2367, 235syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 𝐽 ∈ V)
2379, 236syl5eqel 2835 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ V)
238237ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝑇 ∈ V)
239155ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
240 stoweidlem57.21 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
241240ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐸 < (1 / 3))
242178, 197, 203, 211, 9, 212, 213, 214, 215, 44, 217, 220, 221, 222, 225, 226, 227, 234, 238, 239, 241stoweidlem54 40766 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡)))
243242ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡))))
244243exlimdv 2002 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡))))
245244rexlimdva 3161 . 2 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡))))
246169, 245mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wex 1845  wnf 1849  wcel 2131  wnfc 2881  wne 2924  wral 3042  wrex 3043  {crab 3046  Vcvv 3332  cdif 3704  cin 3706  wss 3707  c0 4050  𝒫 cpw 4294  {csn 4313   cuni 4580   class class class wbr 4796  cmpt 4873  ran crn 5259  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  cmpt2 6807  Fincfn 8113  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125   < clt 10258  cle 10259  cmin 10450   / cdiv 10868  cn 11204  3c3 11255  +crp 12017  (,)cioo 12360  ...cfz 12511  seqcseq 12987  t crest 16275  topGenctg 16292  Topctop 20892  Clsdccld 21014   Cn ccn 21222  Compccmp 21383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-cmp 21384  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320
This theorem is referenced by:  stoweidlem58  40770
  Copyright terms: Public domain W3C validator