Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem55 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem55 40783
 Description: This lemma proves the existence of a function p as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Here Z is used to represent t0 in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem55.1 𝑡𝑈
stoweidlem55.2 𝑡𝜑
stoweidlem55.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem55.4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem55.5 𝑇 = 𝐽
stoweidlem55.6 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem55.7 (𝜑𝐴𝐶)
stoweidlem55.8 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.9 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.11 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
stoweidlem55.12 (𝜑𝑈𝐽)
stoweidlem55.13 (𝜑𝑍𝑈)
stoweidlem55.14 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem55.15 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
Assertion
Ref Expression
stoweidlem55 (𝜑 → ∃𝑝𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑝𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,,𝑞,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝐴,𝑔,𝑞,𝑡   𝑥,𝑓,,𝑞,𝑡,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔,𝑞   𝑈,𝑓,𝑔,,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,,𝑞,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,,𝑞   𝑤,𝑔,,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   𝐴,,𝑥   ,𝐽,𝑡,𝑤   𝑞,𝑝,𝑡,𝑇   𝐴,𝑝   𝑈,𝑝   𝑍,𝑝   𝑥,𝑟,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥   𝜑,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾   𝑥,𝑤,𝑄   𝑤,𝑈   𝜑,𝑤   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑝)   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑄(𝑡,,𝑟,𝑝)   𝑈(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑍(𝑤,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem55
StepHypRef Expression
1 0re 10241 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2 stoweidlem55.10 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
32stoweidlem4 40732 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
41, 3mpan2 663 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
54adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → (𝑡𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
6 stoweidlem55.2 . . . . 5 𝑡𝜑
7 nfcv 2912 . . . . . . 7 𝑡𝑇
8 stoweidlem55.1 . . . . . . 7 𝑡𝑈
97, 8nfdif 3880 . . . . . 6 𝑡(𝑇𝑈)
10 nfcv 2912 . . . . . 6 𝑡
119, 10nfeq 2924 . . . . 5 𝑡(𝑇𝑈) = ∅
126, 11nfan 1979 . . . 4 𝑡(𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅)
13 0le0 11311 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
14 0cn 10233 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
15 eqid 2770 . . . . . . . . . 10 (𝑡𝑇 ↦ 0) = (𝑡𝑇 ↦ 0)
1615fvmpt2 6433 . . . . . . . . 9 ((𝑡𝑇 ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) = 0)
1714, 16mpan2 663 . . . . . . . 8 (𝑡𝑇 → ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) = 0)
1813, 17syl5breqr 4822 . . . . . . 7 (𝑡𝑇 → 0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
1918adantl 467 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
20 0le1 10752 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
2117, 20syl6eqbr 4823 . . . . . . 7 (𝑡𝑇 → ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)
2221adantl 467 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)
2319, 22jca 495 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑡𝑇) → (0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
2423ex 397 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → (𝑡𝑇 → (0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
2512, 24ralrimi 3105 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → ∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
26 stoweidlem55.13 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑈)
27 stoweidlem55.12 . . . . . 6 (𝜑𝑈𝐽)
2826, 27jca 495 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍𝑈𝑈𝐽))
29 elunii 4577 . . . . . 6 ((𝑍𝑈𝑈𝐽) → 𝑍 𝐽)
30 stoweidlem55.5 . . . . . 6 𝑇 = 𝐽
3129, 30syl6eleqr 2860 . . . . 5 ((𝑍𝑈𝑈𝐽) → 𝑍𝑇)
32 eqidd 2771 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑍 → 0 = 0)
33 c0ex 10235 . . . . . 6 0 ∈ V
3432, 15, 33fvmpt 6424 . . . . 5 (𝑍𝑇 → ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
3528, 31, 343syl 18 . . . 4 (𝜑 → ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
3635adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
3711rzalf 39692 . . . 4 ((𝑇𝑈) = ∅ → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
3837adantl 467 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
39 nfcv 2912 . . . . . . 7 𝑡𝑝
40 nfmpt1 4879 . . . . . . 7 𝑡(𝑡𝑇 ↦ 0)
4139, 40nfeq 2924 . . . . . 6 𝑡 𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0)
42 fveq1 6331 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → (𝑝𝑡) = ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
4342breq2d 4796 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → (0 ≤ (𝑝𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
4442breq1d 4794 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → ((𝑝𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
4543, 44anbi12d 608 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → ((0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
4641, 45ralbid 3131 . . . . 5 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
47 fveq1 6331 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → (𝑝𝑍) = ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑍))
4847eqeq1d 2772 . . . . 5 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → ((𝑝𝑍) = 0 ↔ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0))
4942breq2d 4796 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → (0 < (𝑝𝑡) ↔ 0 < ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
5041, 49ralbid 3131 . . . . 5 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → (∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑝𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
5146, 48, 503anbi123d 1546 . . . 4 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → ((∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑝𝑡)) ↔ (∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡))))
5251rspcev 3458 . . 3 (((𝑡𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡))) → ∃𝑝𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑝𝑡)))
535, 25, 36, 38, 52syl13anc 1477 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → ∃𝑝𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑝𝑡)))
5411nfn 1934 . . . 4 𝑡 ¬ (𝑇𝑈) = ∅
556, 54nfan 1979 . . 3 𝑡(𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅)
56 stoweidlem55.3 . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
57 stoweidlem55.14 . . 3 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
58 stoweidlem55.15 . . 3 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
59 stoweidlem55.6 . . 3 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
60 stoweidlem55.4 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
6160adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
62 stoweidlem55.7 . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
6362adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → 𝐴𝐶)
64 stoweidlem55.8 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
65643adant1r 1186 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
66 stoweidlem55.9 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
67663adant1r 1186 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
682adantlr 686 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
69 stoweidlem55.11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
7069adantlr 686 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
7127adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → 𝑈𝐽)
72 neqne 2950 . . . 4 (¬ (𝑇𝑈) = ∅ → (𝑇𝑈) ≠ ∅)
7372adantl 467 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → (𝑇𝑈) ≠ ∅)
7426adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → 𝑍𝑈)
758, 55, 56, 57, 58, 30, 59, 61, 63, 65, 67, 68, 70, 71, 73, 74stoweidlem53 40781 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → ∃𝑝𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑝𝑡)))
7653, 75pm2.61dan 796 1 (𝜑 → ∃𝑝𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑝𝑡)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630  Ⅎwnf 1855   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2899   ≠ wne 2942  ∀wral 3060  ∃wrex 3061  {crab 3064   ∖ cdif 3718   ⊆ wss 3721  ∅c0 4061  ∪ cuni 4572   class class class wbr 4784   ↦ cmpt 4861  ran crn 5250  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ℂcc 10135  ℝcr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275   ≤ cle 10276  (,)cioo 12379  topGenctg 16305   Cn ccn 21248  Compccmp 21409 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-mulf 10217 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-cmp 21410  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346 This theorem is referenced by:  stoweidlem56  40784
 Copyright terms: Public domain W3C validator