Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem50 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem50 40585
Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem50.1 𝑡𝑈
stoweidlem50.2 𝑡𝜑
stoweidlem50.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem50.4 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem50.5 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
stoweidlem50.6 𝑇 = 𝐽
stoweidlem50.7 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem50.8 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem50.9 (𝜑𝐴𝐶)
stoweidlem50.10 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem50.13 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
stoweidlem50.14 (𝜑𝑈𝐽)
stoweidlem50.15 (𝜑𝑍𝑈)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem50 (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑢,𝑇   𝑢,𝑈   𝑢,𝑊   𝑓,𝑔,,𝑡,𝑇   𝑓,𝑞,𝑔,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝐴,𝑞,𝑡   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔   𝑈,𝑓,𝑔,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,𝑞   𝑤,𝑔,,𝑡,𝑇   𝐴,𝑔,   𝑔,𝑊   𝑍,𝑞,𝑥   𝑇,𝑟   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐽,𝑤   𝑡,𝐾   𝜑,𝑢   𝑤,𝑄   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑡,)   𝐴(𝑤,𝑢)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑢,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞)   𝑄(𝑥,𝑢,𝑡,,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑤,𝑡,)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,,𝑟,𝑞)   𝑍(𝑤,𝑢,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem50
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem50.1 . . 3 𝑡𝑈
2 stoweidlem50.4 . . . 4 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
3 nfrab1 3152 . . . 4 {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
42, 3nfcxfr 2791 . . 3 𝑄
5 nfv 1883 . . 3 𝑞𝜑
6 stoweidlem50.2 . . 3 𝑡𝜑
7 stoweidlem50.3 . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
8 stoweidlem50.5 . . 3 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
9 stoweidlem50.6 . . 3 𝑇 = 𝐽
10 stoweidlem50.8 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
11 stoweidlem50.9 . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
12 stoweidlem50.7 . . . 4 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
1311, 12syl6sseq 3684 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
14 stoweidlem50.10 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
15 stoweidlem50.11 . . 3 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
16 stoweidlem50.12 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
17 stoweidlem50.13 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
18 stoweidlem50.14 . . 3 (𝜑𝑈𝐽)
19 stoweidlem50.15 . . 3 (𝜑𝑍𝑈)
20 uniexg 6997 . . . . 5 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ V)
2110, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 𝐽 ∈ V)
229, 21syl5eqel 2734 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
231, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22stoweidlem46 40581 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊)
24 dfin4 3900 . . . . . . . . . . 11 (𝑇𝑈) = (𝑇 ∖ (𝑇𝑈))
25 elssuni 4499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈𝐽𝑈 𝐽)
2618, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 𝐽)
2726, 9syl6sseqr 3685 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈𝑇)
28 sseqin2 3850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝑇 ↔ (𝑇𝑈) = 𝑈)
2927, 28sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇𝑈) = 𝑈)
3024, 29syl5eqr 2699 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 ∖ (𝑇𝑈)) = 𝑈)
3130, 18eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇 ∖ (𝑇𝑈)) ∈ 𝐽)
32 cmptop 21246 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
3310, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ Top)
34 difssd 3771 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇)
359iscld2 20880 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑇 ∖ (𝑇𝑈)) ∈ 𝐽))
3633, 34, 35syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑇 ∖ (𝑇𝑈)) ∈ 𝐽))
3731, 36mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽))
38 cmpcld 21253 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Comp ∧ (𝑇𝑈) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp)
3910, 37, 38syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp)
409cmpsub 21251 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
4133, 34, 40syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽t (𝑇𝑈)) ∈ Comp ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
4239, 41mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
43 ssrab2 3720 . . . . . . . 8 {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}} ⊆ 𝐽
448, 43eqsstri 3668 . . . . . . 7 𝑊𝐽
458, 10rabexd 4846 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ V)
46 elpwg 4199 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ V → (𝑊 ∈ 𝒫 𝐽𝑊𝐽))
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 ∈ 𝒫 𝐽𝑊𝐽))
4844, 47mpbiri 248 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ 𝒫 𝐽)
49 unieq 4476 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑊 𝑐 = 𝑊)
5049sseq2d 3666 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑊 → ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 ↔ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊))
51 pweq 4194 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑊 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝑊)
5251ineq1d 3846 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑊 → (𝒫 𝑐 ∩ Fin) = (𝒫 𝑊 ∩ Fin))
5352rexeqdv 3175 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑊 → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
5450, 53imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑊 → (((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢) ↔ ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
5554rspccva 3339 . . . . . 6 ((∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐽((𝑇𝑈) ⊆ 𝑐 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑊 ∈ 𝒫 𝐽) → ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
5642, 48, 55syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇𝑈) ⊆ 𝑊 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
5756imp 444 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)
58 df-rex 2947 . . . 4 (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin)(𝑇𝑈) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
5957, 58sylib 208 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → ∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
60 elinel2 3833 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ Fin)
6160ad2antrl 764 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → 𝑢 ∈ Fin)
62 elinel1 3832 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑊)
6362ad2antrl 764 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑊)
6463elpwid 4203 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → 𝑢𝑊)
65 simprr 811 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)
6661, 64, 653jca 1261 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) ∧ (𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)) → (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
6766ex 449 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → ((𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢) → (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
6867eximdv 1886 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → (∃𝑢(𝑢 ∈ (𝒫 𝑊 ∩ Fin) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢) → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢)))
6959, 68mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑊) → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
7023, 69mpdan 703 1 (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑊 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wnf 1748  wcel 2030  wnfc 2780  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  𝒫 cpw 4191   cuni 4468   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  (,)cioo 12213  t crest 16128  topGenctg 16145  Topctop 20746  Clsdccld 20868   Cn ccn 21076  Compccmp 21237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  40588
  Copyright terms: Public domain W3C validator