Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem5 40736
Description: There exists a δ as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: 0 < δ < 1 , p >= δ on 𝑇𝑈. Here 𝐷 is used to represent δ in the paper and 𝑄 to represent 𝑇𝑈 in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem5.1 𝑡𝜑
stoweidlem5.2 𝐷 = if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2))
stoweidlem5.3 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem5.4 (𝜑𝑄𝑇)
stoweidlem5.5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
stoweidlem5.6 (𝜑 → ∀𝑡𝑄 𝐶 ≤ (𝑃𝑡))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem5 (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡𝑄 𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑑,𝐷   𝑃,𝑑   𝑄,𝑑
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑑)   𝐶(𝑡,𝑑)   𝑃(𝑡)   𝑄(𝑡)   𝑇(𝑡,𝑑)

Proof of Theorem stoweidlem5
StepHypRef Expression
1 stoweidlem5.2 . . 3 𝐷 = if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2))
2 stoweidlem5.5 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
3 halfre 11453 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
4 halfgt0 11455 . . . . 5 0 < (1 / 2)
53, 4elrpii 12038 . . . 4 (1 / 2) ∈ ℝ+
6 ifcl 4270 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ+) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
72, 5, 6sylancl 574 . . 3 (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ+)
81, 7syl5eqel 2854 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
98rpred 12075 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
103a1i 11 . . 3 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
11 1red 10261 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
122rpred 12075 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
13 min2 12226 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (1 / 2))
1412, 3, 13sylancl 574 . . . 4 (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (1 / 2))
151, 14syl5eqbr 4822 . . 3 (𝜑𝐷 ≤ (1 / 2))
16 halflt1 11457 . . . 4 (1 / 2) < 1
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → (1 / 2) < 1)
189, 10, 11, 15, 17lelttrd 10401 . 2 (𝜑𝐷 < 1)
19 stoweidlem5.1 . . 3 𝑡𝜑
207rpred 12075 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ)
2120adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ∈ ℝ)
2212adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑄) → 𝐶 ∈ ℝ)
23 stoweidlem5.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃:𝑇⟶ℝ)
2423adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑄) → 𝑃:𝑇⟶ℝ)
25 stoweidlem5.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝑇)
2625sselda 3752 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑄) → 𝑡𝑇)
2724, 26ffvelrnd 6505 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑄) → (𝑃𝑡) ∈ ℝ)
28 min1 12225 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
2912, 3, 28sylancl 574 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
3029adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ 𝐶)
31 stoweidlem5.6 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑡𝑄 𝐶 ≤ (𝑃𝑡))
3231r19.21bi 3081 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑄) → 𝐶 ≤ (𝑃𝑡))
3321, 22, 27, 30, 32letrd 10400 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑄) → if(𝐶 ≤ (1 / 2), 𝐶, (1 / 2)) ≤ (𝑃𝑡))
341, 33syl5eqbr 4822 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑄) → 𝐷 ≤ (𝑃𝑡))
3534ex 397 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝑄𝐷 ≤ (𝑃𝑡)))
3619, 35ralrimi 3106 . 2 (𝜑 → ∀𝑡𝑄 𝐷 ≤ (𝑃𝑡))
37 eleq1 2838 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+))
38 breq1 4790 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 < 1 ↔ 𝐷 < 1))
39 breq1 4790 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 ≤ (𝑃𝑡) ↔ 𝐷 ≤ (𝑃𝑡)))
4039ralbidv 3135 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 → (∀𝑡𝑄 𝑑 ≤ (𝑃𝑡) ↔ ∀𝑡𝑄 𝐷 ≤ (𝑃𝑡)))
4137, 38, 403anbi123d 1547 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 → ((𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡𝑄 𝑑 ≤ (𝑃𝑡)) ↔ (𝐷 ∈ ℝ+𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡𝑄 𝐷 ≤ (𝑃𝑡))))
4241spcegv 3445 . . 3 (𝐷 ∈ ℝ+ → ((𝐷 ∈ ℝ+𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡𝑄 𝐷 ≤ (𝑃𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡𝑄 𝑑 ≤ (𝑃𝑡))))
438, 42syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐷 ∈ ℝ+𝐷 < 1 ∧ ∀𝑡𝑄 𝐷 ≤ (𝑃𝑡)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡𝑄 𝑑 ≤ (𝑃𝑡))))
448, 18, 36, 43mp3and 1575 1 (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ+𝑑 < 1 ∧ ∀𝑡𝑄 𝑑 ≤ (𝑃𝑡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wex 1852  wnf 1856  wcel 2145  wral 3061  wss 3723  ifcif 4226   class class class wbr 4787  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  cr 10141  1c1 10143   < clt 10280  cle 10281   / cdiv 10890  2c2 11276  +crp 12035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-2 11285  df-rp 12036
This theorem is referenced by:  stoweidlem28  40759
  Copyright terms: Public domain W3C validator